高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质一课一练

课时跟踪检测（四十一） 正切函数的性质与图象

层级(一)　“四基”落实练

1．函数y＝tan的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：选A　令x＋≠kπ＋，k∈Z，

解得x≠2kπ＋，k∈Z，

故函数的定义域为.

2．f(x)＝－tan的单调递减区间是(　　)

A.，k∈Z

B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：选C　令－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，

解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

3．(多选)函数y＝tan的一个对称中心是(　　)

A．(0,0)　　　　　　　　　 B.

C.  D．(π，0)

解析：选BC　令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，

所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.

令k＝0，可得函数的一个对称中心为.

令k＝2，可得函数的一个对称中心为.

4．若f(x)＝tan，则(　　)

A．f(－1)>f(0)>f(1)  B．f(0)>f(1)>f(－1)

C．f(1)>f(0)>f(－1)  D．f(0)>f(－1)>f(1)

解析：选D　f(x)在kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，

即kπ－<x<kπ＋，k∈Z上是增函数，且周期为π，

∵f(1)＝f(1－π)，－<1－π<－1<0<，

∴f(1－π)<f(－1)<f(0)，

∴f(0)>f(－1)>f(1)．

5．(多选)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于直线x＝成轴对称

D．图象关于点成中心对称

解析：选ABD　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故C错误；令x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，k＝1时，x＝，故D正确．

6．tan≥的解集为__________________．

解析：因为tan≥，

所以kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，

所以kπ＋≤x<kπ＋，k∈Z，

所以原不等式的解集为

.

答案：

7．函数y＝tan(2x＋θ)＋b图象的一个对称中心为，其中θ∈，则点(θ，b)对应的坐标为________．

解析：∵y＝tan(2x＋θ)＋b图象的一个对称中心为，∴b＝－1.

由2×＋θ＝，k∈Z，得θ＝－，k∈Z，

∵θ∈，

∴当k＝1时，θ＝－＝，

则点(θ，b)对应的坐标为.

答案：

8．已知函数f(x)＝3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f的大小．

解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)．

因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，

所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内单调递减．

故函数f(x)的最小正周期为4π，

单调递减区间为(k∈Z)．

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，

f＝3tan＝3tan＝－3tan，

因为0<<<，

且y＝tan x在上单调递增，

所以tan<tan，所以f(π)>f.

层级(二)　能力提升练

1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

解析：选D　当＜x＜π，tan x＜sin x，

y＝2tan x＜0；

当x＝π时，y＝0；

当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.

2．如果f(n)＝tan(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)等于(　　)

A．－   B.

C．0  D．－2

解析：选C　由题意可知，T＝＝3，

又f(1)＝，f(2)＝－，f(3)＝0⇒f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，

故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝673×0＋f(1)＋f(2)＝0.

3．若函数y＝tan ωx在(－π，π)上单调递增，则ω的取值范围是________．

解析：根据题设可知ω＞0，

∵又函数y＝tan ωx(ω＞0)在(－π，π)上递调递增，

∴kπ－≤ω·(－π)，且ω·π≤＋kπ，k∈Z，

∴求得ω≤－k，且ω≤＋k，k∈Z，

∴ω≤，

∴ω的取值范围为.

答案：

4．设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集；

(3)作出函数y＝f(x)在一个周期内的简图．

解：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋2kπ(k∈Z)，

所以f(x)的定义域是.

因为ω＝，所以周期T＝＝＝2π.

由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)，无减区间．

由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．

(2)由－1≤tan≤ ，

得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)．

解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集是

.

(3)令－＝0，则x＝.

令－＝，则x＝.

令－＝－，则x＝－.

所以函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图如图．

5．已知函数f(x)＝tan.

(1)求f(x)的定义域；

(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．

解：(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的定义域是.

(2)依题意，得tan＝2cos，

所以＝2sin，

整理得sin＝0，

所以sin＝0或cos＝.

因为β∈(0，π)，所以β＋∈，

由sin＝0得β＋＝π，β＝；

由cos＝得β＋＝，β＝，

所以β＝或β＝.

层级(三)　素养培优练

1．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等．已知函数f(x)＝tan(ω＞0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2 020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则f等于(　　)

A.   B.－

C.－3  D．－－3

解析：选A　由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝|AB|＝2，所以＝2，解得ω＝，所以f(x)＝tan，所以f＝tan＝tan＝.

2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．

解：(1)由题意可得f(x)的周期为

T＝－＝＝，所以ω＝，

得f(x)＝Atan，

因为它的图象过点，所以tan＝0，

即tan＝0，

所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z)，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝Atan，

又它的图象过点(0，－3)，

所以Atan＝－3，得A＝3，

所以f(x)＝3tan.

(2)由(1)得3tan≥ ，

所以tan≥，

得kπ＋≤x－<kπ＋(k∈Z)，

解得＋≤x<＋(k∈Z)，

所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是

(k∈Z)．