高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质一课一练

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课时跟踪检测（四十一） 正切函数的性质与图象层级(一)　“四基”落实练1．函数y＝tan的定义域是(　　)A.B.C.D.解析：选A　令x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠2kπ＋，k∈Z，故函数的定义域为.2．f(x)＝－tan的单调递减区间是(　　)A.，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：选C　令－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.3．(多选)函数y＝tan的一个对称中心是(　　)A．(0,0)　　　　　　　　　 B.C.  D．(π，0)解析：选BC　令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.令k＝0，可得函数的一个对称中心为.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.4．若f(x)＝tan，则(　　)A．f(－1)>f(0)>f(1)  B．f(0)>f(1)>f(－1)C．f(1)>f(0)>f(－1)  D．f(0)>f(－1)>f(1)解析：选D　f(x)在kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，即kπ－<x<kπ＋，k∈Z上是增函数，且周期为π，∵f(1)＝f(1－π)，－<1－π<－1<0<，∴f(1－π)<f(－1)<f(0)，∴f(0)>f(－1)>f(1)．5．(多选)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线x＝成轴对称D．图象关于点成中心对称解析：选ABD　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故C错误；令x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，k＝1时，x＝，故D正确．6．tan≥的解集为__________________．解析：因为tan≥，所以kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x<kπ＋，k∈Z，所以原不等式的解集为.答案：7．函数y＝tan(2x＋θ)＋b图象的一个对称中心为，其中θ∈，则点(θ，b)对应的坐标为________．解析：∵y＝tan(2x＋θ)＋b图象的一个对称中心为，∴b＝－1.由2×＋θ＝，k∈Z，得θ＝－，k∈Z，∵θ∈，∴当k＝1时，θ＝－＝，则点(θ，b)对应的坐标为.答案：8．已知函数f(x)＝3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与f的大小．解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π.由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)．因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内单调递减．故函数f(x)的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f＝3tan＝3tan＝－3tan，因为0<<<，且y＝tan x在上单调递增，所以tan<tan，所以f(π)>f. 层级(二)　能力提升练1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)解析：选D　当＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.2．如果f(n)＝tan(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)等于(　　)A．－   B.C．0  D．－2解析：选C　由题意可知，T＝＝3，又f(1)＝，f(2)＝－，f(3)＝0⇒f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝673×0＋f(1)＋f(2)＝0.3．若函数y＝tan ωx在(－π，π)上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：根据题设可知ω＞0，∵又函数y＝tan ωx(ω＞0)在(－π，π)上递调递增，∴kπ－≤ω·(－π)，且ω·π≤＋kπ，k∈Z，∴求得ω≤－k，且ω≤＋k，k∈Z，∴ω≤，∴ω的取值范围为.答案：4．设函数f(x)＝tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集；(3)作出函数y＝f(x)在一个周期内的简图．解：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域是.因为ω＝，所以周期T＝＝＝2π.由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无减区间．由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．(2)由－1≤tan≤ ，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)．解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集是.(3)令－＝0，则x＝.令－＝，则x＝.令－＝－，则x＝－.所以函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图如图．5．已知函数f(x)＝tan.(1)求f(x)的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．解：(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意，得tan＝2cos，所以＝2sin，整理得sin＝0，所以sin＝0或cos＝.因为β∈(0，π)，所以β＋∈，由sin＝0得β＋＝π，β＝；由cos＝得β＋＝，β＝，所以β＝或β＝. 层级(三)　素养培优练1．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等．已知函数f(x)＝tan(ω＞0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2 020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则f等于(　　)A.   B.－C.－3  D．－－3解析：选A　由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝|AB|＝2，所以＝2，解得ω＝，所以f(x)＝tan，所以f＝tan＝tan＝.2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，得f(x)＝Atan，因为它的图象过点，所以tan＝0，即tan＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，于是f(x)＝Atan，又它的图象过点(0，－3)，所以Atan＝－3，得A＝3，所以f(x)＝3tan.(2)由(1)得3tan≥ ，所以tan≥，得kπ＋≤x－<kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x<＋(k∈Z)，所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是(k∈Z)．