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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质一课一练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质一课一练,共8页。
课时跟踪检测(四十一) 正切函数的性质与图象层级(一) “四基”落实练1.函数y=tan的定义域是( )A.B.C.D.解析:选A 令x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,k∈Z,故函数的定义域为.2.f(x)=-tan的单调递减区间是( )A.,k∈ZB.(kπ,kπ+π),k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z解析:选C 令-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.3.(多选)函数y=tan的一个对称中心是( )A.(0,0) B.C. D.(π,0)解析:选BC 令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.令k=0,可得函数的一个对称中心为.令k=2,可得函数的一个对称中心为.4.若f(x)=tan,则( )A.f(-1)>f(0)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1) D.f(0)>f(-1)>f(1)解析:选D f(x)在kπ-<x+<kπ+,k∈Z,即kπ-<x<kπ+,k∈Z上是增函数,且周期为π,∵f(1)=f(1-π),-<1-π<-1<0<,∴f(1-π)<f(-1)<f(0),∴f(0)>f(-1)>f(1).5.(多选)下列关于函数y=tan的说法正确的是( )A.在区间上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于直线x=成轴对称D.图象关于点成中心对称解析:选ABD 令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然满足上述关系式,故A正确;易知该函数的最小正周期为π,故B正确;正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故C错误;令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,k=1时,x=,故D正确.6.tan≥的解集为__________________.解析:因为tan≥,所以kπ+≤x-<kπ+,k∈Z,所以kπ+≤x<kπ+,k∈Z,所以原不等式的解集为.答案:7.函数y=tan(2x+θ)+b图象的一个对称中心为,其中θ∈,则点(θ,b)对应的坐标为________.解析:∵y=tan(2x+θ)+b图象的一个对称中心为,∴b=-1.由2×+θ=,k∈Z,得θ=-,k∈Z,∵θ∈,∴当k=1时,θ=-=,则点(θ,b)对应的坐标为.答案:8.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)试比较f(π)与f的大小.解:(1)因为f(x)=3tan=-3tan,所以T===4π.由kπ-<-<kπ+(k∈Z),得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z).因为y=3tan在(k∈Z)内单调递增,所以f(x)=-3tan在(k∈Z)内单调递减.故函数f(x)的最小正周期为4π,单调递减区间为(k∈Z).(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan,因为0<<<,且y=tan x在上单调递增,所以tan<tan,所以f(π)>f. 层级(二) 能力提升练1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是( )解析:选D 当<x<π,tan x<sin x,y=2tan x<0;当x=π时,y=0;当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x.故选D.2.如果f(n)=tan(n∈N*),则f(1)+f(2)+…+f(2 021)等于( )A.- B.C.0 D.-2解析:选C 由题意可知,T==3,又f(1)=,f(2)=-,f(3)=0⇒f(1)+f(2)+f(3)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2 021)=673×0+f(1)+f(2)=0.3.若函数y=tan ωx在(-π,π)上单调递增,则ω的取值范围是________.解析:根据题设可知ω>0,∵又函数y=tan ωx(ω>0)在(-π,π)上递调递增,∴kπ-≤ω·(-π),且ω·π≤+kπ,k∈Z,∴求得ω≤-k,且ω≤+k,k∈Z,∴ω≤,∴ω的取值范围为.答案:4.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.解:(1)由-≠+kπ(k∈Z)得x≠+2kπ(k∈Z),所以f(x)的定义域是.因为ω=,所以周期T===2π.由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z),无减区间.由-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),故函数f(x)的对称中心是(k∈Z).(2)由-1≤tan≤ ,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z).解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集是.(3)令-=0,则x=.令-=,则x=.令-=-,则x=-.所以函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得函数y=f(x)在一个周期内的简图如图.5.已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域;(2)设β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值.解:(1)由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意,得tan=2cos,所以=2sin,整理得sin=0,所以sin=0或cos=.因为β∈(0,π),所以β+∈,由sin=0得β+=π,β=;由cos=得β+=,β=,所以β=或β=. 层级(三) 素养培优练1.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 020相交于A,B两点,且|AB|=2,则f等于( )A. B.-C.-3 D.--3解析:选A 由题意知,函数f(x)的最小正周期T=|AB|=2,所以=2,解得ω=,所以f(x)=tan,所以f=tan=tan=.2.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和,且过点(0,-3).(1)求f(x)的解析式;(2)求满足f(x)≥的x的取值范围.解:(1)由题意可得f(x)的周期为T=-==,所以ω=,得f(x)=Atan,因为它的图象过点,所以tan=0,即tan=0,所以+φ=kπ(k∈Z),得φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,于是f(x)=Atan,又它的图象过点(0,-3),所以Atan=-3,得A=3,所以f(x)=3tan.(2)由(1)得3tan≥ ,所以tan≥,得kπ+≤x-<kπ+(k∈Z),解得+≤x<+(k∈Z),所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是(k∈Z).
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