高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式课时作业

课时跟踪检测（三十七） 诱导公式五、六

层级(一)　“四基”落实练

1．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)

A．－　　　　　　　　 B．

C.  D．－

解析：选A　∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.

∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.

2．已知cos＝，则sin的值是(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选A　cos＝，则sin

＝cos＝cos＝.

3．(多选)下列选项中正确的是(　　)

4．化简：＝(　　)

A．－cos α　　  B．cos α         C．sin α　　 D．－sin α

解析：选A　原式

＝

＝＝－cos α.

5．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)

A．sin β＝  B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝  D．tan β＝

解析：选AC　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，

∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.

A中，sin β＝ cos α＝±，故A符合条件；

B中，cos(π＋β)＝＝－sin α＝－，故B不符合条件；

C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故C符合条件；

D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．

6．已知sin＝，则cos的值是________．

解析：cos＝cos＝sin＝.

答案：

7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________.

解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋2＝1＋1＋＝.

答案：

8．已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan α.

解：(1)f(α)＝＝sin α.

(2)由sin＝－，得cos α＝－，

又α是第二象限角，所以sin α＝＝，

所以tan α＝＝－.

层级(二)　能力提升练

1．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　由题意，得

解得tan α＝3，

又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，

可得sin α＝.

2．已知cos(60°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选A　由－180°＜α＜－90°，

得－120°＜60°＋α＜－30°.

又cos(60°＋α)＝＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，

即－150°＜α＜－90°，

所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，

所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)

＝－＝－＝－.

3．已知＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.

解析：∵＝2，∴sin θ＝3cos θ，

∴tan θ＝3，

sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ

＝＝＝.

答案：

4．求证：＝.

证明：左边＝

＝

＝，

右边＝

＝＝

＝＝，

所以等式成立．

5．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos， cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件，

则

由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sin α＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，cos β＝，

∵0＜β＜π，∴β＝；

当α＝－时，cos β＝，

∵0＜β＜π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．

层级(三)　素养培优练

在①tan(π＋α)＝2，②sin(π－α)－sin＝cos(－α)，③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．

问题：已知________．

(1)求的值；

(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cossin的值．

解：若选①，则tan(π＋α)＝2，即tan α＝2，

(1)＝＝＝8.

(2)当α为第三象限角时，

tan α＝＝2，即sin α＝2cos α，

又∵sin2α＋cos2α＝1，即(2cos α)2＋cos2α＝1，

解得cos α＝－，sin α＝－，

∴sin(－α)－cos(π＋α)－cossin

＝－sin α＋cos α＋sin αcos α

＝－－＋×＝.

若选②，则sin(π－α)－sin＝cos(－α)，

即sin α－cos α＝cos α，

即sin α＝2cos α，tan α＝2，

(1)＝＝＝8.

(2)当α为第三象限角时，

tan α＝＝2，即sin α＝2cos α，

又∵sin2α＋cos2α＝1，即(2cos α)2＋cos2α＝1，

解得cos α＝－，sin α＝－，

∴sin(－α)－cos(π＋α)－cossin

＝－sin α＋cos α＋sin αcos α

＝－－＋×＝.

若选③，2sin＝cos，

即2cos α＝sin α，tan α＝2，

(1)＝＝＝8.

(2)当α为第三象限角时，

tan α＝＝2，即sin α＝2cos α，

又∵sin2α＋cos2α＝1，

即(2cos α)2＋cos2α＝1，

解得cos α＝－，sin α＝－，

∴sin(－α)－cos(π＋α)－cossin

＝－sin α＋cos α＋sin αcos α

＝－－＋×

＝.