高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体课时训练

课时跟踪检测 （三十七） 总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计

层级(一)　“四基”落实练

1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是       (　　)

A．14　　　　　　　　　 B．17

C．19  D．23

解析：选D　因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23.

2．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,3，则样本平均值约为    (　　)

A．4.67  B．4.5

C．12.5  D．1.64

解析：选A　由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×3)≈4.67.

3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是        (　　)

A．众数  B．中位数

C．平均数  D．都不会

解析：选A　众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．

4．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：

则这15场得分的中位数和众数分别为         (　　)

A．22,18  B．18,18

C．22,22  D．20,18

解析：选B　根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，将得分按从小到大顺序排序，排在中间位置的为18，故中位数为18，故B.

5.(多选)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查  了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论正确的是                                                (　　)

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32

解析：选ABC　由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.

6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：93,91,94,96,90,92,89,87，则这组数据的中位数和平均数分别是________．

解析：数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5，

平均数为＝91.5.

答案：91.5,91.5

7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第________百分位数．

解析：因为[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．

答案：30

8．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．

解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.

表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.

这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．

故17名运动员成绩的众数、中位数与平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.

层级(二)　能力提升练

1．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)

A．[4.5，＋∞)  B．[4.5,6.6)

C．(4.5，＋∞)  D．[4.5,6.6]

解析：选A　因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.

2．以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．

甲：9　12　 x　 24　 27

乙：9　15　 y　 18　 24

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)

A．12, 15  B．15, 15

C．15, 18  D．18, 18

解析：选C　因为甲组数据的中位数为15，所以x＝15，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，y＝18，选C.

3．(多选)AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某市1月1日到12日AQI指数徝的统计数据，则下列叙述正确的是                                                                                                                                              (　　)

A．这12天的AQI指数值的中位数是90

B．从1月4日到9日，空气质量越来越好

C．这12天的AQI指数值的平均值为100

D．这12天的AQI指数值的第75百分位数是136.5

解析：选BD　把12个数据按照从小到大重新排列，即

67,72,77,85,92,95,104,111,135,138,144,201，可得中位数为＝99.5，所以A错误；从1月4日到9日AQI指数值逐渐降低，即空气质量越来越好，所以B正确；×(67＋72＋77＋85＋92＋95＋104＋111＋135＋138＋144＋201)≈110.08，所以C错误；因为i＝12×75%＝9，所以第75百分位数是＝136.5，所以D正确．故选B、D.

4．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．

解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.

(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋×5＝42.5岁．

答案：(1)0.04　(2)42.5

5.

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图．

(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；

(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考．

解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.

所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.

(3)设分数的第15百分位数为x，由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50,60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分．

层级(三)　素养培优练

某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.

(1)求样本容量及样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数；

(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝求这批产品平均每个的利润．

解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3.

设样本容量为n，

∵样本中产品净重小于100克的个数是36，

∴＝0.300，∴n＝120.

∵样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的频率为(0.05＋0.100＋0.150)×2＝0.6，

∴样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数是120×0.6＝72.

(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.1，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，0.075×2＝0.15，

∴其相应的频数分别为120×0.1＝12，120×0.75＝90,120×0.15＝18，

∴这批产品平均每个的利润为×(4×12＋5×90＋6×18)＝5.05(元)．