人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质同步练习题

这是一份人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质同步练习题，共4页。试卷主要包含了函数f＝x2－1的图象关于等内容，欢迎下载使用。

A．x轴对称 B．y轴对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝2－x
C．y＝x3＋x D．y＝－x2＋8
3．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a , a]上的偶函数，则a－b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和f(－10)关系不定
5．[2022·湖北十堰高一期中](多选)下列函数中，既是奇函数又是减函数的为( )
A．y＝ eq \f(1,x) B．y＝－x|x|
C．y＝－x D．y＝－x2
6．已知奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋3x，那么f(－2)＝________．
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x，则f(1)－g(1)＝________．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在给出的直角坐标系中作出f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调区间．
9.若f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则x·f(x)＜0解集是( )
A．(－2，0)∪(0，2)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
10．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋x＋5，则( )
A．f(0)＝0
B．函数g(x)＝xf(x)为奇函数
C．f(－1)＝－7
D．当x＜0时，f(x)＝－x2＋x－5
11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若f(b)＜f(1)，则实数b的取值范围是________；若f(a)＜f(a＋2)，则实数a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝ eq \f(x＋b,x2＋a) ，函数f(x)为R上的奇函数，且f(1)＝ eq \f(1,2) .
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在区间(－1，1)上的单调性，并用定义给予证明；
(3)若f(x)的定义域为(－1，1)时，求关于x的不等式f(x－1)＋f(2x2)＜0的解集．
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有 eq \f(x1f（x1）－x2f（x2）,x1－x2) ＜0成立，则不等式mf(m)－(2m－1)f(2m－1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
课时作业(十八) 奇偶性
1．解析：函数f(x)的定义域是实数集R，关于原点对称，
∵f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，
∴f(x)＝x2－1是偶函数，
∴函数f(x)图象关于y轴对称．
答案：B
2．解析：由y＝|x|，可得f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，x∈R，即f(x)＝|x|为偶函数；
由y＝2－x，可得f(－x)＝2＋x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，x∈R，所以f(x)＝2－x既不是奇函数也不是偶函数；
由y＝x3＋x，可得f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，x∈R，所以f(x)＝x3＋x是奇函数；
由y＝－x2＋8，可得f(－x)＝－(－x)2＋8＝－x2＋8＝f(x)，x∈R，所以f(x)＝－x2＋8是偶函数．
答案：C
3．解析：∵二次函数为偶函数，∴对称轴为y轴，且区间[2－2a , a]关于原点对称，
∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－2a＋a＝0,2b－a＝0)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝1))
∴a－b＝1.
答案：A
4．解析：依题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－10)＝f(10)，
所以f(1)＞f(10)＝f(－10).
答案：A
5．解析：对于A项，函数y＝ eq \f(1,x) 是奇函数，但是y＝ eq \f(1,x) 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
在定义域上不具有单调性，故A项错误；
对于B项，函数y＝－x|x|可化为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≤0），,－x2（x＞0），)) 其图象如图：
故y＝－x|x|既是奇函数又是减函数，故B项正确；
对于C项，函数y＝－x既是奇函数又是减函数，故C项正确；
对于D项，y＝－x2是偶函数，故D项错误．
答案：BC
6．解析：由f(x)为奇函数，可知f(－x)＝－f(x)，则f(－2)＝－f(2)，
又当x＞0时，f(x)＝x2＋3x，则f(2)＝22＋3×2＝10，
故f(－2)＝－f(2)＝－10.
答案：－10
7．解析：因为f(x)＋g(x)＝x2－x，所以有f(－1)＋g(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，
因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
因此由f(－1)＋g(－1)＝2⇒f(1)－g(1)＝2.
答案：2
8．解析：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x＞0，,－x2－2x，x≤0.))
(2)作出函数f(x)的图象，如图所示：
函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，1].
9．解析：∵f(x)为R上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝－f(－2)＝0，
∴当x＜－2时，f(x)＜0；当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当x＝0时，f(0)＝0；当0＜x＜2时，f(x)＜0；当x＞2时，f(x)＞0；
∴当－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0，即x·f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(0，2).
答案：A
10．解析：对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，A正确．
对于B，由g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，得g(x)为偶函数，B错误．
对于C，f(－1)＝－f(1)＝－7，C正确，
对于D，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x－5，D正确．
答案：ACD
11．解析：由偶函数可知函数f(x)关于y轴对称．
因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
由对称性可知函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，
若f(b)＜f(1)可得|b|<1，则－1＜b＜1.
由f(a)＜f(a＋2)，可得|a|＜|a＋2|，
即a2＜(a＋2)2，解得a＞－1.
答案：(－1，1) (－1，＋∞)
12．解析：(1)由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝0,f（1）＝\f(1,2))) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝0,\f(1＋b,1＋a)＝\f(1,2))) ，解之得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝0,a＝1)) ，
则f(x)＝ eq \f(x,x2＋1) ，经检验，符合题意．
(2)f(x)在区间(－1，1)上单调递增．
证明：设任意x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1) － eq \f(x2,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1)
＝ eq \f(x1（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1）－x2（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1）,（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1）（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1）) ＝ eq \f(（x1－x2）（1－x1x2）,（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1）（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1）)
由x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，可得x1－x2＜0，1－x1x2＞0，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1＞0，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1＞0，
则 eq \f(（x1－x2）（1－x1x2）,（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1）（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1）) ＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间(－1，1)上单调递增．
(3)不等式f(x－1)＋f(2x2)＜0可化为f(2x2)＜－f(x－1)＝f(1－x)
等价于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＜x－1＜1,－1＜2x2＜1,2x2＜1－x)) ，解之得0＜x＜ eq \f(1,2) ，
故不等式f(x－1)＋f(2x2)＜0的解集为(0， eq \f(1,2) ).
13．解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，
令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
∴g(x)是R上的奇函数，
又任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有 eq \f(x1f（x1）－x2f（x2）,x1－x2) ＝ eq \f(g（x1）－g（x2）,x1－x2) ＜0成立，
∴g(x)在[0，＋∞)单调递减，则在(－∞，0]单调递减，即g(x)在R上递减，
∴mf(m)－(2m－1)f(2m－1)＝g(m)－g(2m－1)＞0，则g(m)＞(2m－1)，
∴m＜2m－1，可得m＞1，故解集为(1，＋∞).
答案：C
练 基 础
提 能 力
培 优 生