课时作业(十八) 直线与圆的位置关系

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1．圆心为(3,0)且与直线x＋eq \r(2)y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
5．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．
6．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq \r(7)，求圆C的方程．
[提能力]
7．(多选)已知点A是直线l：x＋y－eq \r(2)＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )
A．(0，eq \r(2)) B．(1，eq \r(2)－1)
C．(eq \r(2)，0) D．(eq \r(2)－1,1)
8．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为________．
9．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
[战疑难]
10．设直线y＝kx与圆C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝eq \r(3)，则k＝________，当k变化时，弦AB中点轨迹的长度是________．
课时作业(十八)
1．解析：由题意知所求圆的半径r＝eq \f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq \r(3)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.
答案：B
2．解析：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝eq \r(2)⇔eq \f(|a＋1|,\r(2))≤eq \r(2)⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.故选C.
答案：C
3．解析：圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq \f(|3×3＋4×3－11|,5)＝2，又r＝3，故有3个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1.故选A.
答案：A
4.
解析：可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝eq \r(|OC|2－|CD|2)＝3.6(米)．
故选C.
答案：C
5．解析：当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB.由于C(1,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∴kCP＝－2，∴kAB＝eq \f(1,2)，∴直线l方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即2x－4y＋3＝0.
答案：2x－4y＋3＝0
6．解析：设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|.
∵圆心到直线y＝x的距离为eq \f(|2m|,\r(2))＝eq \r(2)|m|，
由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
7．解析：设点A坐标为(t，eq \r(2)－t)，当AP、AQ均为圆切线时，∠PAQ＝90°，
此时四边形PAQO为正方形，则|OA|＝eq \r(2)，即t2＋(eq \r(2)－t)2＝2，解得t＝0，t＝eq \r(2)，
故A(0，eq \r(2))或(eq \r(2)，0)，故选AC.
答案：AC
8．解析：由圆的一般方程，可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
答案：x－y＋5＝0.
9.
解析：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，
可设P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－2－\f(3,4)x)).
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋\f(3,4)x))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)x＋1))2＋9.
所以当x＝－eq \f(4,5)时，|PC|eq \\al(2,min)＝9.
所以|AP|min＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2).
即四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2).
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
10．解析：由垂径定理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|2k|,\r(k2＋1))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＝1，解得k＝±eq \f(\r(15),15)；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB中点M(x0，y0)，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx,x－22＋y2＝1))，消去y得(1＋k2)x2－4x＋3＝0，
∴Δ＝16－12(1＋k2)>0，解得k2∴x1＋x2＝eq \f(4,1＋k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝eq \f(4k,1＋k2)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(2,1＋k2),y0＝\f(2k,1＋k2)))，消去k得(x0－1)2＋yeq \\al(2,0)＝1，
又由k2eq \f(3,2)，
故弦AB中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的eq \f(1,3)，如图：
所以弦AB中点轨迹长度为2π×eq \f(1,3)＝eq \f(2π,3).
答案：±eq \f(\r(15),15) eq \f(2π,3)