高考复习《函数的奇偶性》课时作业2.3

这是一份高考复习《函数的奇偶性》课时作业2.3，共8页。
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝eq \r(1＋x2) B．y＝x＋eq \f(1,x)
C．y＝2x＋eq \f(1,2x) D．y＝x＋ex
D A选项定义域为R，由于f(－x)＝eq \r(1＋（－x）2)＝eq \r(1＋x2)＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋eq \f(1,2－x)＝eq \f(1,2x)＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝eq \f(1,ex)－x，所以是非奇非偶函数．
2．(2020·广东宝安期末)设f(x)＝lg eq \f(x＋1,x－1)，g(x)＝ex＋eq \f(1,ex)，则( )
A．f(x)与g(x)都是奇函数
B．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C．f(x)与g(x)都是偶函数
D．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
B 首先，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域都关于原点对称．对于f(x)，可得f(－x)＝lg eq \f(－x＋1,－x－1)＝lg eq \f(x－1,x＋1)，
∴f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x＋1)·\f(x＋1,x－1)))＝lg 1＝0，由此可得f(－x)＝－f(x)，可得f(x)是奇函数；
对于g(x)，可得g(－x)＝e－x＋eq \f(1,e－x)＝eq \f(1,ex)＋ex，
∴g(－x)＝g(x)，g(x)是偶函数．故选B.
3．(2020·咸阳模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x>0))为奇函数，则a＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．±1
A 由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意)．
4．(2020·山东济宁一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1.则f(2 017)＋f(2 018)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
D ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，∴f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1.故选D.
5．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
D ∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6)．
6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)
B．f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)
C．f(－1)＜f(－6.5)＜f(0)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)
A 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期是2.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，
∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)．
7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
解析 函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln eq \f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝2ax＝ln e2ax，即eq \f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－eq \f(3,2).
答案 －eq \f(3,2)
8．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))的值为________．
解析 由已知可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝ln eq \f(1,e2)＝－2，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)．又f(x)是奇函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.
答案 －ln 2
9．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________．
解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋f(0)
＝2eq \s\up6(\f(1,2))－1＋21－1＋20－1
＝eq \r(2).
答案 eq \r(2)
10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t满足f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))，
由f(ln t)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,t)))≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故eq \f(1,e)≤t≤e.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))
11．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(ax2＋2,bx＋c)是奇函数，且其图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3)).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的表达式；
(2)判断并证明feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\r(2)))上的单调性．
解 (1)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(ax2＋2,bx＋c)是奇函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，
即eq \f(ax2＋2,－bx＋c)＝－eq \f(ax2＋2,bx＋c)，∴c＝0.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝\f(a＋2,b)＝3，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝\f(4a＋2,2b)＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(x2＋2,x).
(2)任取0