【同步练习】苏科版初一数学下册 第8章《幂的运算》8.5 幂的运算新定义问题【拔尖特训】

这是一份【同步练习】苏科版初一数学下册 第8章《幂的运算》8.5 幂的运算新定义问题【拔尖特训】，共32页。
8.5幂的运算新定义问题
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2022春•沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝　 　，（﹣3，1）＝　 　，（﹣2，−1−32）＝　 　．
（2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）
2．（2022春•兴化市校级月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），D(2512)的值（用含a、b、c的代数式表示）．
3．（2022春•亭湖区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝　 　，（﹣3，81）＝　 　；
②若（x，116）＝﹣4，则x＝　 　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
4．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　；
②若（x，18）＝﹣3，则x＝　 　．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
5．（2022春•秦淮区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝　 　，　 　※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　 　※　 　（结果化成最简形式）．
6．（2022春•广陵区校级月考）探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，
规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b，例如：3∪2＝103×102＝105，3∩2＝103÷102＝10．
（1）求：（1039∪983）的值；
（2）求：（2022∩2020）的值；
（3）当x为何值时，（x∪5）的值与（23∩17）的值相等．
7．（2022春•江阴市校级月考）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a⋯︸n个，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，
则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 　 　；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝　 　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
8．（2022春•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　；（ 　 　，16）＝4；
（2）计算（5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
9．（2022春•邗江区期末）小明和小红在计算（−13）100×3101时，分别采用了不同的解法．
小明的解法：（−13）100×3101＝（−13）100×3100×3＝[（−13）×3]100×3＝（﹣1）100×3＝3，
小红的解法：（−13）100×3101＝（13）100×3101×3＝（3﹣1）100×3101＝3﹣100×3101＝3．
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若4a﹣3b+1＝0，求32×92a+1÷27b的值；
（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．
10．（2022春•邗江区校级月考）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：am+n＝am•an（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算解决以下问题：
（1）若h（1）＝﹣1，则h（2）＝　 　；h（2019）＝　 　；
（2）若h（7）＝128，求h（2），h（8）的值；
（3）若ℎ(4)ℎ(2)=4，求h（2）的值．
11．（2022春•江都区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、c表示）．
12．（2022春•兴化市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　；
②若(x，116)=−4，则x＝　 　．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
13．（2021春•宜兴市月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　 　，（2，14）＝　 　；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
14．（2022春•金湖县校级月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　 　，（4，16）＝　 　，（2，16）＝　 　．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
15．（2019春•沭阳县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（﹣2，﹣8）＝　 　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）
16．（2022春•工业园区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 　．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
17．（2022春•邗江区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　 　，（4，1）＝　 　（2，0.25）＝　 　；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
18．（2021春•清江浦区校级期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，32）＝　 　；
（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
19．（2021春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2
（1）根据上述规定，填空：2※16＝　 　，　 　※136=−2，
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　 　※　 　（结果化成最简形式）．
20．（2021春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（−12，﹣8）＝　 　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
21．（2021秋•高新区月考）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0）记作an，读作“a的n次商”．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝　 　，（﹣3）4＝　 　；
（2）关于除方，下列说法错误的是 　 　；
A．任何非零数的2次商都等于1；
B．对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
C．34＝43；
D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：24＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（12）2．
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
（﹣3）4＝　 　；（17）5＝　 　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的n次方商an写成幂的形式等于 　 　．
（3）算一算：52÷（−12）4×（−13）5+（−14）3×14=　 　．
22．（2022春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25．
我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式 　 　；
（2）试说明logaMN=logaM−logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　 　．
23．（2022秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝　 　；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
24．（2022秋•海淀区校级期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：x＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴log22＝1；∵22＝4，∴log24＝2；∵23＝8，∴log28＝3；∵24＝16，∴log216＝　 　；计算：log232＝　 　；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28＝　 　；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　 　．

答案与解析
一．解答题（共24小题）
1．（2022春•沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝　3　，（﹣3，1）＝　0　，（﹣2，−1−32）＝　﹣5　．
（2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）
【分析】（1）根据新定义的运算计算即可．
（2）分别表示各式，再判断．
【解答】解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c，53＝125，（﹣3）0＝1，（﹣2）﹣5=−132，
∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，−132）＝﹣5．
故答案为：3，0，﹣5．
（2）由题意得：4a＝6，4b＝7，4c＝42．
∵42＝6×7，
∴4c＝4a×4b＝4a+b，
∴a+b＝c．
∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）．
2．（2022春•兴化市校级月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），D(2512)的值（用含a、b、c的代数式表示）．
【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1，4；
（2）①∵D（a）＝1，
∴D（a3）
＝D（a•a•a）
＝D（a）+D（a）+D（a）
＝3；
②∵D（2）＝1，D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，
∴D（30）
＝D（2×3×5）
＝D（2）+D（3）+D（5）
＝1+2a﹣b+a+c
＝3a﹣b+c+1，
∴D(2512)
＝D（25）﹣D（12）
＝2D（5）﹣2D（2）﹣D（3）
＝2（a+c）﹣2×1﹣（2a﹣b）
＝b+2c﹣2．
3．（2022春•亭湖区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝　2　，（﹣3，81）＝　4　；
②若（x，116）＝﹣4，则x＝　±2　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
【分析】（1）①根据所给的新定义进行运算即可；
②根据所给的新定义进行运算即可；
（2）①结合所给的特征进行求解即可；
②结合所给的特征进行求解即可．
【解答】解：（1）①∵42＝16，
∴（4，16）＝2，
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4，
故答案为：2，4；
②由题意得：x−4=116，
∴1x4=1(±2)4，
∴x＝±2，
故答案为：±2；
（2）①（9，100）﹣（81，10000）
＝（32，102）﹣（34，104）
＝（3，10）﹣（3，10）
＝0；
②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，
∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，
∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，
∵4c＝3×7＝4a×4b，
∴c＝a+b．
4．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　；
②若（x，18）＝﹣3，则x＝　2　．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
【分析】（1）①根据新定义的运算进行求解即可；
②根据新定义的运算进行求解即可；
（2）根据新定义的运算进行求解即可；
（3）根据新定义的运算进行求解即可．
【解答】解：①∵53＝125，
∴（5，125）＝3，
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3；5；
②由题意得：x﹣3=18，
则x﹣3＝2﹣3，
∴x＝2，
故答案为：2；
（2）∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a•4b＝4c，
∴a+b＝c．
（3）设（m，8）＝p，（m，3）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝8，mq＝3，mr＝t，
∵（m，8）+（m，3）＝（m，t），
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp•mr＝mt，
即8×3＝t，
∴t＝24．
5．（2022春•秦淮区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝　4　，　±16　※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　（x﹣2）　※　[（y+1）（y﹣3）]　（结果化成最简形式）．
【分析】（1）利用新定义，直接求得即可；
（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；
②利用前面的结论，直接运算即可．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝（±6）2=(±16)−2，
∴a＝±16．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，±16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
6．（2022春•广陵区校级月考）探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，
规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b，例如：3∪2＝103×102＝105，3∩2＝103÷102＝10．
（1）求：（1039∪983）的值；
（2）求：（2022∩2020）的值；
（3）当x为何值时，（x∪5）的值与（23∩17）的值相等．
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（2）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；
（3）根据题意列出相应的式子进行运算即可．
【解答】解：（1）（1039∪983）
＝101039×10983
＝102022；
（2）（2022∩2020）
＝102022÷102020
＝102
＝100；
（3）由题意得：（x∪5）＝（23∩17），
则10x×105＝1023÷1017，
∴105+x＝106，
即5+x＝6，
解得：x＝1．
7．（2022春•江阴市校级月考）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a⋯︸n个，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，
则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 　log24+log216＝log264　；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝　loga（MN）　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案为：2，4，6；

（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，
∴log24+log216＝log264，
故答案为：log24+log216＝log264；

（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）．
8．（2022春•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am＝b，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m•3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　3　；（ 　±2　，16）＝4；
（2）计算（5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
【分析】（1）由于53＝125，（±2）4＝16，根据“雅对”的定义可得（5，125）＝3，（±2，16）＝4；
（2）设（5，2）＝m，（5，7）＝n，利用新定义得到5m＝2，5n＝7，根据同底数幂的乘法得到5m•5n＝5m+n＝14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）＝m+n，从而得到（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
（3）设：（2n，3n）＝a，（2，3）＝b，利用新定义得到（2n）a＝3n，2b＝3，根据幂的乘方得到（2n）a＝（2b）n，从而得到a＝b，所以（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴（5，125）＝3；
∵（±2）4＝16，
∴（±2，16）＝4；
故答案为：3，±2；
（2）（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
理由如下：
设（5，2）＝m，（5，7）＝n，则5m＝2，5n＝7，
∴5m•5n＝5m+n＝2×7＝14，
∵（5，14）＝m+n，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
故答案为：（5，14）；
（3）设（2n，3n）＝a，（2，3）＝b，
∴（2n）a＝3n，2b＝3，
∴（2n）a＝（2b）n，
即2an＝2bn，
∴an＝bn，
∴a＝b，
即（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
9．（2022春•邗江区期末）小明和小红在计算（−13）100×3101时，分别采用了不同的解法．
小明的解法：（−13）100×3101＝（−13）100×3100×3＝[（−13）×3]100×3＝（﹣1）100×3＝3，
小红的解法：（−13）100×3101＝（13）100×3101×3＝（3﹣1）100×3101＝3﹣100×3101＝3．
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若4a﹣3b+1＝0，求32×92a+1÷27b的值；
（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．
【分析】（1）将原式转化为同底数幂的乘除法进行计算即可；
（2）先提取公因式，化简即可得出答案．
【解答】解：（1）∵4a﹣3b+1＝0，
∴4a﹣3b＝﹣1，
∴原式＝32×34a+2÷33b
＝32+4a+2﹣3b
＝34a﹣3b+4
＝3﹣1+4
＝33
＝27；
（2）∵22x+4﹣22x+2＝96，
∴22x+2（22﹣1）＝96，
∴22x+2＝32，
∴22x+2＝25，
∴2x+2＝5，
∴x＝1.5．
10．（2022春•邗江区校级月考）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：am+n＝am•an（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算解决以下问题：
（1）若h（1）＝﹣1，则h（2）＝　1　；h（2019）＝　﹣1　；
（2）若h（7）＝128，求h（2），h（8）的值；
（3）若ℎ(4)ℎ(2)=4，求h（2）的值．
【分析】（1）由定义可得h（1）＝﹣1，则h（2）＝1，h（2019）＝[h（1）]2019＝﹣1；
（2）由（1）可知，h（7）＝[h（1）]7＝128，求出h（1）＝2，则可求h（2）＝4，h（8）＝256；
（3）ℎ(4)ℎ(2)=[h（1）]2＝4，求出h（1）＝±2，即可求解．
【解答】解：（1）h（2）＝h（1+1）＝h（1）•h（1），
∵h（1）＝﹣1，
∴h（2）＝1；
h（2019）＝[h（1）]2019＝﹣1；
故答案为：1，﹣1；
（2）由（1）可知，h（7）＝[h（1）]7＝128，
∴h（1）＝2，
∴h（2）＝4，h（8）＝256；
（3）∵h（4）＝[h（1）]4，h（2）＝[h（1）]2，
∴ℎ(4)ℎ(2)=[h（1）]2＝4，
∴h（1）＝±2，
∴h（2）＝4．
11．（2022春•江都区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、c表示）．
【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，
∴a＝2．
∴23＝23．
∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），
＝D（3）+D（5）
＝（2a﹣b）+（a+c）
＝3a﹣b+c，
D(53)=D(5)−D(3)
＝（a+c）﹣（2a﹣b）
＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2），
＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）
＝3×（2a﹣b）+2×1
＝6a﹣3b+2．
D(2720)=D(27)−D(20)，
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]
＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]
＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2
＝5a﹣3b﹣c﹣2，
12．（2022春•兴化市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　；
②若(x，116)=−4，则x＝　±2　．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；
因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；
②由新定义的运算可得，
x﹣4=116，
因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，
所以x＝±2，
故答案为：①3，5；②±2；
（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，
因为5×6＝30，
所以4a•4b＝4c，
所以a+b＝c．
13．（2021春•宜兴市月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　3　，（2，14）＝　﹣2　；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．
【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，
2−2=14，（2，14）＝﹣2，
故答案为：3；﹣2；

（2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∴4a×4b＝60，
∴4a×4b＝4c，
∴a+b＝c；

（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp•mq＝mr，
即16×5＝t，
∴t＝80．
14．（2022春•金湖县校级月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　，（4，16）＝　2　，（2，16）＝　4　．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
【解答】解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵42＝16，
∴（4，16）＝2；
∵24＝16，
∴（2，16）＝4；
故答案为：3；2；4；

（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a+b＝30，
∵3c＝30，
∴3a+b＝3c，
∴a+b＝c．
15．（2019春•沭阳县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝　3　，（﹣2，4）＝　2　，（﹣2，﹣8）＝　3　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴（5，125）＝3，
∵（﹣2）2＝4，
∴（﹣2，4）＝2，
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴（﹣2，﹣8）＝3，
故答案为：3；2；3；
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
16．（2022春•工业园区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2　； （5，1）＝　0　； （3，27）＝　3　．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵22＝4，
∴（2，4）＝2；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
故答案为：2，0，3；

（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，
则5x＝2，5y＝7，
∴5x+y＝5x•5y＝14，
∴（5，14）＝x+y，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），
故答案为：（5，14）；

（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n
所以2x＝3，即（2，3）＝x，
所以（2n，3n）＝（2，3）．
17．（2022春•邗江区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　3　，（4，1）＝　0　（2，0.25）＝　﹣2　；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；

（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
18．（2021春•清江浦区校级期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，32）＝　5　；
（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据乘方的定义解决此题．
（2）根据乘方的定义解决此题．
（3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：（1）∵25＝32，
∴T（2，32）＝5．
故答案为：5．
（2）∵(13)−3=27，（﹣2）4＝16，
∴T（13，27）＝﹣3，T（﹣2，16）＝4．
∴T(13，27)+T(−2，16)=−3+4＝1．
（3）T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21），理由如下：
设T（2，3）＝m，T（2，7）＝n．
∴2m＝3，2n＝7．
∴2m•2n＝2m+n＝21．
∴T（2，21）＝m+n．
∴T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．
19．（2021春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2
（1）根据上述规定，填空：2※16＝　4　，　±6　※136=−2，
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　（x﹣1）　※　（y2﹣y﹣2）　（结果化成最简形式）．
【分析】（1）规定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可进行求解．
（2）①设6※7＝x，6※9＝y，则6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得证．
②根据①中的结论：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴2※16＝4，
∵6−2=136，(−6)−2=136
∴6※136=−2，（﹣6）※136=−2，
故答案为：4，±6．
（2）①设6※7＝x，6※9＝y，
∴6x＝7，6y＝9，
∴6x•6y＝6x+y＝7×9＝63，
∴6x+y＝63，
∴6※63＝x+y，
∵6※7+6※9＝6※63．
②根据①中的结论，
得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．
20．（2021春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　3　，（﹣2，4）＝　2　，（−12，﹣8）＝　﹣3　；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
【分析】（1）根据题意可得43＝64，（﹣2）2＝4，（−12）﹣3＝﹣8，进而求解．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，进而求解．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，则3a＝20，3b＝5，再根据（3，9）＝2及同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：（1）∵43＝64，（﹣2）2＝4，（−12）﹣3＝﹣8，
∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（−12，﹣8）＝﹣3．
故答案为：3，2，﹣3．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
∴4x×4y＝5×6＝30，
∴4x×4y＝4z，
∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，
∴3a＝20，3b＝5，
∵（3，9）＝2，
∴（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝2a﹣b，
∵32a﹣b＝（3a）2÷3b＝202÷5＝80，
∴2a﹣b＝（3，80），即（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝（3，80）．
21．（2021秋•高新区月考）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a︸n个a（a≠0）记作an，读作“a的n次商”．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝　12　，（﹣3）4＝　19　；
（2）关于除方，下列说法错误的是 　B，C　；
A．任何非零数的2次商都等于1；
B．对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
C．34＝43；
D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：24＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（12）2．
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
（﹣3）4＝　（−13）2　；（17）5＝　73　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的n次方商an写成幂的形式等于 　（1a）n﹣2　．
（3）算一算：52÷（−12）4×（−13）5+（−14）3×14=　−314　．
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）利用除方的定义对每个说法逐一判断即可；
（3）利用题干中给定的解法解答即可；
（4）利用（3）中的方法解答即可；
（5）利用（4）中得出的规律计算即可．
【解答】解：（1）23＝2÷2÷2=12，
（﹣3）4＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=19，
故答案为：12，19；
（2）∵任何非零数的2次商等于这个数与它本身相除，结果为1，
∴任何非零数的2次商都等于1，
故A正确；
∵对于任何正整数n，当n为奇数时，（﹣1）n＝﹣1，当n为偶数时，（﹣1）n＝1，
∴B错误；
∵34＝3÷3÷3÷3=19，43＝4÷4÷4=14，
∴34≠43．
∴C错误；
∵负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，
∴D正确；
综上，说法错误的是：B，C，
故答案为：B，C；
（3）（﹣3）4＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（_3）＝（﹣3）×（−13）×（−13）×（−13）＝（−13）2，
（17）5=17÷17÷17÷17÷17=17×7×7×7×7＝73，
故答案为：（−13）2，73；
（4）∵an=a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a︸n个a=a×1a×1a×1a×⋅⋅⋅×1a︸n−2个1a=（1a）n﹣2
∴将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于（1a）n﹣2．
故答案为：（1a）n﹣2；
（5）原式＝1÷（﹣2）2×（﹣3）3+（﹣4）1×14=1×14×（﹣27）+（﹣1）=−314．
故答案为：−314．
22．（2022春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25．
我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式 　3＝log464　；
（2）试说明logaMN=logaM−logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　1　．
【分析】（1）根据对数的定义转化即可；
（2）设设logaM＝m，logaN＝n，转化成指数式M＝am，N＝an，根据同底数幂除法的运算法则可得MN=am÷an＝am﹣n，再转化成对数形式即可；
（3）根据对数的定义计算即可．
【解答】解：（1）指数43＝64转化为对数式3＝log464，
故答案为：3＝log464；
（2）设logaM＝m，logaN＝n，
则M＝am，N＝an，
∴MN=am÷an＝am﹣n，
∴m﹣n=logaMN
∴logaMN=logaM﹣logaN；
（3）log32+log36﹣log34
＝log32×6÷4
＝log33
＝1．
故答案为：1．
23．（2022秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝　125　；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）①∵f（2）＝5，
∴f（6）＝f（2+2+2）
＝f（2）•f（2）•f（2）
＝5×5×5
＝125；
故答案为：125；
②∵25＝5×5
＝f（2）•f（2）
＝f（2+2），
f（2n）＝25，
∴f（2n）＝f（2+2），
∴2n＝4，
∴n＝2；
（2）∵f（2a）
＝f（a+a）
＝f（a）•f（a）
＝3×3
＝31+1
＝32，
f（3a）
＝f（a+a+a）
＝f（a）•f（a）•f（a）
＝3×3×3
＝31+1+1
＝33，
…，
f（10a）＝310，
∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）
＝3×32×33×…×310
＝31+2+3+…+10
＝355．
24．（2022秋•海淀区校级期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：x＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴log22＝1；∵22＝4，∴log24＝2；∵23＝8，∴log28＝3；∵24＝16，∴log216＝　4　；计算：log232＝　5　；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+log28＝　log232　；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：logaM+logaN＝　logaMN　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝　MN　．
【分析】（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；
（2）利用对数的定义求解可得结论；
（3）根据所得结论进行推导可得结论；
（4）根据之前的探究，可得logaM﹣logaN=MN．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴log216＝4；
∵25＝32，
∴log232＝5；
故答案为：4，5；
（2）log24+log28＝2+3＝5＝log232，
故答案为：log232；
（3）logaM+logaN＝logaMN，
验证：设logaM＝x，logaN＝y，则ax＝M，ay＝N，
∴ax▪ay＝ax+y＝MN，
∴logaax+y=logaMN＝x+y，
∴logaMN＝logaM+logaN，
故答案为：logaMN；
（4）根据之前的探究，可得logaM﹣logaN=MN．
故答案为：MN．