专题14 圆锥曲线的综合问题-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题14 圆锥曲线的综合问题

一、单选题

1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则(    )

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【解析】

抛物线的焦点是，

双曲线的一个焦点是，

由条件得解得.

故选：D.

2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 (  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．

3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为(　　)

A．48 B．24 C．2 D．

【答案】B

【解析】

  结合椭圆性质,可以得到

  建立方程,得到点P的坐标为,

  故,故选B.

4．（2019·湖北省高二期中）若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

即为直线，即为曲线，.

对于A选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示圆或椭圆，A选项错误；

对于B选项，由直线方程可知，，，则曲线，不存在，B选项错误；

对于C选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；

对于D选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误.

故选：C.

5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线的焦点为圆心，为半径的圆，与直线相切，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．-3或

【答案】C

【解析】

抛物线的焦点为,

以抛物线的焦点为圆心, 为半径的圆可得:圆心为,半径，

由直线与圆相切,可得:

圆心到直线的距离,

解得或.

故选:.

6．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是

①当时，曲线C不一定是椭圆；

②当时，曲线C一定是双曲线；

③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；

④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

对于①，当 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确

对于②，当时表示焦点在y轴上的双曲线，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确

对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，所以③正确

对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以④正确

综上，四个选项都正确

所以选D

7．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线的准线被双曲线截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为抛物线的准线被双曲线截得的弦长为6

所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为，代入双曲线中

得，所以焦点坐标为

故选：D

8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点若双曲线的离心率是，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

抛物线的准线.

，，因此双曲线的渐近线方程为：，

双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：，得根据双曲线的对称性可知：

故选：A

9．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则的值等于

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），

解方程组，得．

取P点坐标为，，，

cos∠F1PF2==．

故选A．

10．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，

圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），

与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，

∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，

∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，

∵1＜yB＜3，

∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．

故选：B．

二、多选题

11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是（    ）

A．若为椭圆，则 B．若是双曲线，则其离心率有

C．若为双曲线，则或 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

【答案】AD

【解析】

若，方程即为，它表示圆，A错；

对于选项B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；，

若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

，，故正确；

对于选项C，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，故正确；

对于选项D，若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；

若，则，故表示焦点在轴上的椭圆，则错；

故选：

12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率

C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得

【答案】ABD

【解析】

如图，设，则由正六边形性质可得点，

由点在椭圆上可得，结合可得，

椭圆离心率，

当点为椭圆上顶点时，，此时；

点在双曲线的渐近线上可得即,

双曲线的离心率为,

当点为双曲线的顶点时，易知.

故选：ABD.

13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．的准线方程为 B．线段的长度最小为4

C．的坐标可能为 D．恒成立

【答案】BCD

【解析】

焦点到准线的距离即为，所以抛物线的焦点为，准线方程为，A项错误.

当垂直于轴时长度最小， 此时，，所以，B项正确.

设，，直线的方程为.联立，消去可得，消去可得，所以，，当时，可得，所以C正确，又，，所以，所以D正确.

故选：BCD

三、填空题

14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．

【答案】

【解析】

抛物线的焦点为在轴上,故双曲线,又,

故.

故双曲线的方程为.

故答案为：

15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线 与抛物线 只有一个交点，则实数的值为______

【答案】0或

【解析】

联立直线方程与抛物线方程可得：，

①若，则，满足题意；

②若，则，解得.

综上所述，0或 .

故答案为：0或

16．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________

【答案】

【解析】

由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于两点，斜率为，

则，两式相减得，即，所以，

所以所求直线方程为，即.

故答案为：.

17．（2020·浙江省高三月考）已知直线，椭圆，点，若直线和椭圆有两个不同交点，则周长是___________，的重心纵坐标的最大值是___________

【答案】       

【解析】

由题意知，可知恒过定点，此点为椭圆的左焦点，记为.

则.所以的周长为

.设

设的重心纵坐标为.则 .联立直线与椭圆方程得

，整理得.

则，

所以.当 时，，

当且仅当，即 时，等号成立，此时；

当时，，当且仅当，

即时，等号成立，此时.

综上所述：.所以的重心纵坐标的最大值是.

故答案为: ;.

四、解答题

18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆过点且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在这样的直线，直线方程为：.

【解析】

（1）由已知点代入椭圆方程得

由得可转化为

由以上两式解得

所以椭圆C的方程为：.

（2）存在这样的直线.

当l的斜率不存在时，显然不满足,

所以设所求直线方程代入椭圆方程化简得：

①   .②

,

设所求直线与椭圆相交两点

由已知条件可得,③

综合上述①②③式子可解得符合题意,

所以所求直线方程为：.

19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)过点，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

【答案】（1）（2）是定值，7

【解析】

（1）由离心率，得a∶b∶c＝2∶∶1，

则可设椭圆C的方程为 ，

由点在椭圆C上，得，即c2＝1，

所以椭圆C的方程为

（2）设直线l的方程为y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以OA2＋OB2＝＋3－+＋3－＝(＋)＋6.

由消去y得3x2＋2nx＋2n2－6＝0.

当Δ＞0时，x1＋x2＝－n，x1x2＝，

从而＝4，

所以OA2＋OB2＝7，为定值．

20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线.

（1）若是抛物线上任一点，，求点到和轴距离之和的最小值；

（2）若的三个顶点都在抛物线上，其重心恰好为的焦点，求三边所在直线的斜率的倒数之和.

【答案】（1）（2）0

【解析】

（1）由抛物线定义可知：到和轴距离之和，

当三点共线时，取最小值.

（2）设，，，∵∴.

又，同理：，

∴

21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆经过点，，点是椭圆的下项点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意得，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，设直线，与直线联立方程有，得.

设直线，同理，

因为，所以，

①无实数解；

②，解得，

综上可得，直线的斜率为.

22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设，，

因为的中点的横坐标为，所以.

根据抛物线定义知.

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，.

则由得.

所以，即，解得.

设与直线平行的直线的方程为，

由得.

依题知，解得.

故所求的切线方程为.

23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点在抛物线上，且点的纵坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，，且，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2

故

故抛物线的方程为：；

（2）抛物线的焦点为，准线方程为，；

设，

直线的方程为，代入抛物线方程可得，

∴，，…①

由，可得，

又，，

∴，

∴，

即，

∴，…②

把①代入②得，，

则.