高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀精练

4.2.1 等差数列的概念（2）  -B提高练

一、选择题

1．（2021·江苏高二期末）在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，解得a4＝2，∴a1+a7＝2a4＝4，故选：C．

2．（2021·云南楚雄高二期末）在等差数列中，，，则（    ）

A．12 B．22 C．24 D．34

【答案】B

【详解】设数列的公差为则

故.故选：B

3．（2021·江苏扬州市·高二期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】B

【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.

4．（2020·周口市中英文学校高二月考）设数列，都是等差数列，且，，，则等于（    ）

A．0 B．37 C．100 D．

【答案】C

【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，

因为，，，所以数列的公差为0，首项为100，

所以，所以，故选：C

5．（多选题）（2021·福建三明一中高二期末）设d为正项等差数列的公差，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；

，C正确；

，所以，D错误.

6. （多选题）（2021·广东佛山高二期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ）

A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱

C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱

【答案】AC

【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，

∴，，即，，，，

∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：

甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；

乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；

丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．

二、填空题

7．（2020·吴起高级中学高二月考）等差数列中，，则公差_____________.

【答案】2

【详解】因为数列是等差数列，所以，所以，

所以公差.

8．（2020·丰县华山中学高二月考）若2､a､b､c､8成等差数列，则___________.

【答案】

【详解】2､a､b､c､8成等差数列,所以，所以,,

所以，故答案为：

9．（2021·江苏扬州仪征中学高二期末）等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.

【答案】15

【详解】，为方程的两根，

，由等差数列的性质得，即，

.

10．（2021·天津高二期末）已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.

【答案】

【详解】由题意函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，且在上单调，因为，所以

因为数列是公差不为0的等差数列，所以

三、解答题

11．（2021·上海高二课时练）方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．

【详解】设的两根为的两根为，它们组成的等差数列为.

根据等差数列的性质，可设

（1），

则有和

，公差，

所以.

公差

（2），

有和

，公差，

所以

公差.

综上所述，公差或公差.

12．（2021·全国高二课时练）在正项无穷等差数列中，已知.

（1）求通项公式.

（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.

【详解】（1）∵，又∵，

∴或

当时，，不恒为正，舍去.

∴∴

（2），∴.

∴，∴.因为，所以恒有.