人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀同步训练题

3.3.2 抛物线的简单几何性质（1）  -B提高练

一、选择题

1．（2020·江苏省江浦高级中学月考）过点的抛物线的标准方程是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】C

【解析】设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是；设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是．综上可知，过点的抛物线的标准方程是或．故选：C.

2．（2020·江苏省响水中学高二期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ）

A．2 B．2或4 C．1或2 D．1

【答案】B

【解析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，

所以，即，代入抛物线方程可得，整理得，解得或.故选：B.

3.（2020·广西南宁二中高二月考）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】过向轴作垂线，设垂足为，∵，，∴，，，将点的坐标代入，得，故的方程为.

4．（2020·河南洛阳高二月考）已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（    ）

A．3 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以．

5．（多选题）（2020·全国高二课时练）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．

6. （多选题）（2020·重庆八中高二期中）设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（    ）

A．为定值 B．直线过抛物线的焦点

C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4

【答案】ACD

【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，设直线，代入可得，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，

又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.故选：ACD.

二、填空题

7．（2020·重庆市广益中学校高二期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为__________.

【答案】

【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.

8.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为_________.

【答案】

【解析】由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-,∵AB垂直于x轴,|AB|=2,A到y轴的距离为,假设A在y轴上侧,即y=,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+.

9．（2020·青海高二期末）已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是　　　　　. 

【答案】3

【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其值为3.

10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　. 

【答案】6

【解析】抛物线的焦点坐标F,准线方程为y=-.将y=-代入=1得|x|=.要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.

三、解答题

11. （2020·全国高二课时练）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.

（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；

（2）若，求的最小值.

【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.

由已知及抛物线的定义，可知，

于是问题转化为求的最小值.

由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，

最小值为，即的最小值为.

（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.

过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.

由抛物线的定义，可知，

则，

所以的最小值为4.

12.（2020·重庆八中高二期中）在平面直角坐标系中，平面上的动点到点的距离与它到直线的距离相等.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、.若点，且，求直线的方程.

【解析】（1）依据题意动点到的距离等于到直线的距离，

由抛物线定义知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以点的轨迹的方程为；-

（2）由于过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、，

则直线不与轴重合，

设直线的方程为，

设点、，

联立，整理得，则，

由韦达定理得，，

，则，解得.

所以，直线的方程为，即.