高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀同步练习题

2.6.2 双曲线的几何性质(1)  -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练习）双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【解析】由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.故选：B.

2．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线方程为，则（    ）

A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4

C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为

【答案】B

【解析】双曲线方程化为标准方程为，可得，

所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4.故选：B

3．（2020·全国高二课时练习）下列双曲线不是以为渐近线的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A中渐近线为，B中渐近线为，D中渐近线为，C项渐近线为,故选C

4．（2020·山东泰安一中高二期末）点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是（  ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴=故选B.

5．（多选题）（2020山东菏泽三中高二期末）已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.

6．（多选题）已知双曲线C:x2-=1,则下列说法正确的有 (　　)

A.双曲线C的离心率等于半焦距的长

B.双曲线y2-=1与双曲线C有相同的渐近线

C.直线x=被圆x2+y2=1截得的弦长为

D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2

【答案】ACD

【解析】双曲线C:x2-=1,可得a=1,b=2,c=,所以双曲线的离心率为e==c,所以A正确;双曲线C:x2-=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线y2-=1的渐近线方程为y=±x,所以B不正确;直线x=被圆x2+y2=1截得的弦长为2,所以C正确;直线y=kx+b(k,b∈R),当b=0时,直线与双曲线的交点可能是0个,也可能是2个;当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线的交点是1个.所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2,所以D正确.

二、填空题

7．（2020·全国高二课时练）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于________.

【答案】4

【解析】双曲线的一个焦点坐标是，一条渐近线的方程为，

因此焦点到渐近线的距离.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.

【答案】26

【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21.∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.

9．（2020·全国高二课时练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.

【答案】4

【解析】因为，

所以

10．（2020·全国高二课时练习）若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即：离心率

三、解答题

11．（2020·全国高二课时练习）若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长､虚轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标､离心率､渐近线方程.

【解析】因为点在双曲线上，

所以，解得，

于是双曲线方程为，即，

所以双曲线的焦点在x轴上，且.

因此实轴长，虚轴长，焦距为，

焦点坐标为，顶点坐标为，

离心率.渐近线方程为.

12. （2020·吉林汽车区第三中学高二月考（理））已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上任意一点，求的最小值.

【解析】（1）由已知可得动点的轨迹是双曲线的右支，且，，

所以，.

故的方程为.

（2）设点，

则，

因为，所以，

令，则，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为8.