人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品测试题

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第20讲 抛物线定义及性质
考点分析
考点一：抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
考点二：抛物线标准方程与几何性质
图形




标准
方程




顶点

范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点




离心率

准线方程




焦半径





题型目录
题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的性质
典型例题
题型一：抛物线的定义
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（       ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
【例3】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
设，由抛物线的定义知：，即，
即，所以M到y轴的距离是.
故选：B.
【例4】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】根据题意，结合跑线的定义得到，即可求解.
【详解】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，
根据抛物线的定义，可得，解得.
故选：D.
【例5】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，
【详解】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故选：A.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.
【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；
当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，
故选：A.
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
2.（2023湖南高三阶段练习）已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（       ）
A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为
C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴
【答案】C
【解析】将抛物线方程化为标准形式，表示焦点坐标和准线，即得答案.
【详解】将抛物线化为标准方程
所以焦点F的坐标为，准线l的方程为，焦点F到准线l的距离为，对称轴为y轴
故选：C
【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质，属于简单题.
3．（2022·广东广州·高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出.
【详解】因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故选：C.
4.（2023·全国·高三专题练习）抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由到其焦点的距离求得横坐标，进一步求得纵坐标，则答案可求.
【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，
由到焦点距离等于到准线距离，得，则，
，可得，
故选：A.
5.（2022·上海市第三女子中学高二期末）抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（       ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，
因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，
则点到轴的距离是9.
故选：B.
6．（2023江苏高三专题练习）下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线得出的正负，再判断抛物线开口方向可得.
【详解】解：对A，方程表示椭圆，则，，则，抛物线方程应开口向左，故A错误；
对B，方程化为标准方程为，则抛物线的焦点在轴上，故B错误；
对C，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故C错误；
对D，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，，则，则抛物线方程应开口向右，故D正确.
故选：D.
题型二：求抛物线的标准方程
【例1】（2023全国·高三专题练习（文））抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，可设抛物线方程为，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离计算即可.
【详解】由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知，
，解得，故抛物线的方程为.
故选：C
【点睛】本题考查求抛物线的方程，涉及到利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，是一道容易题.
【例2】（2022·广西贵港·高二期末（文））已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案.
【详解】由题可知，解得，所以的面积为，
故选：C
【例4】（2023湖南省高三上学期入学）已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程___________.
【答案】或或或（写出一个即可）
【分析】根据题意设抛物线的方程及点的坐标，根据抛物线的定义与方程运算求解．
【详解】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得.
又∵或，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或或或．
【例5】（2022·全国·高二单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．

【答案】##3.6
【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.
【详解】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，，
因为抛物线过点，所以，可得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：
【例6】（2022·全国·高二课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，则由题意可得，代入抛物线方程求出，从而可求得焦点坐标，进而可求得答案
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B


【题型专练】
1．（2023河南·高三开学考试（理））已知抛物线上一点到焦点的距离．
求抛物线的方程；
【答案】
【分析】由题知，进而解方程即可得答案；
【详解】解：因为抛物线上一点到焦点的距离，
所以，抛物线的定义得．
所以， ，解得．                 
所以，抛物线的方程为；
2．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【分析】先根据点到直线的距离公式求出点的横坐标，再根据点在抛物线上，代入解方程即可求出，从而解出．
【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，
于是，代入，得，解得或，
故该抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
3．（2022·全国·高二课时练习）焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______．
【答案】或
【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线与坐标轴的交点可得到焦点坐标可得到标准方程．
【详解】因为抛物线焦点坐标即为直线与坐标轴的交点,
所以其焦点坐标为和，
当焦点为时，设抛物线标准方程为，
可知，所以其方程为，
当焦点为时，设抛物线标准方程为,
可知其方程中的，
所以其方程为，
故答案为：或．
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米．

【答案】
【分析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.
【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，

则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，
所以，即
故抛物线的方程为，
设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，
所以此时桥洞中水面的宽度为米．
故答案为：．
5.（2023·全国·高三专题练习）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
6．（2022全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【详解】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，
故水面宽为2m．
故选：B．

7.（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（       ）（结果精确到）

（参考数值：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案．
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，

由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，
令y＝，解得，
所以水面宽度为2.24×817.9m．
故选：C．
8．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．




题型三：抛物线的性质
【例1】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（       ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．

【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（       ）
A．5 B． C．10 D．15
【答案】C
【分析】过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，结合抛物线的定义得，由可得答案．
【详解】如图，过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，
因为，所以，
根据已知条件，结合抛物线的定义，得，又，∴，∴．
故选：C．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q.则线段FQ的垂直平分线（       ）
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【答案】B
【分析】连接PF，由题意及抛物线的定义可知为等腰三角形从而得到答案.
【详解】连接PF，由题意及抛物线的定义可知，则为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
故选：B.

【例4】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.
【详解】由知： ；
设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，
得为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，
故，
故选：C
【例5】（2022·河南·高三开学考试（文））已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，

则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）
线段的中点到轴的距离的最小值为．
故选：B.
【例6】（2022·重庆南开中学高二期末）已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（       ）
A． B．
C．A，，三点共线 D．
【答案】AC
【分析】设直线方程联立抛物线方程消参，利用定义表示出，然后由韦达定理和解不等式可判断A；用坐标表示出，利用韦达定理表示后，由m的范围可判断B；设直线NF，借助韦达定理表示出P点坐标，同理可得Q点坐标，然后由斜率是否相等可判断C；根据M和P的横坐标关系，结合AN斜率可判断D.
【详解】因为抛物线过点，
所以，所以抛物线方程为
设
设过点的直线方程为，代入整理得：
则，，即或

又
由定义可知，，
所以，故A正确；
所以
又，故B错误；
记
设直线NF方程为，代入整理得：
则，，同理可得
因为，
，所以A，，三点共线，C正确；
因为，，所以
由上可知，直线AM的斜率，所以，所以，D错误.
故选：AC

【例7】（2022·广东江门·高二期末）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
【答案】BC
【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】根据题意，作出示意图,


因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为的面积为|BF|2＝9，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
故选：BC.
【例8】（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.


【题型专练】
1．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，点在上，若，，则点的横坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线对称性，不妨设点在第一象限，设，，由抛物线的定义得，再由已知条件得直线的倾斜角，斜率，由斜率公式可求得，从而得出点横坐标．
【详解】设为坐标原点，由抛物线的对称性不妨设点在第一象限，
由，可知，
由抛物线的定义，可知，则有，
即，.
由抛物线的方程可知，，
设，，则有，即，
因为，故解得，，
故选：B．
2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解.
【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设，
由抛物线的定义可知，
又，.
当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意；
当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为；
当时，即，解得，此时点A的横坐标为.
只有选项C符合题意.
故选：C
3.（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
设，由抛物线的定义知：，即，
即，所以M到y轴的距离是.
故选：B.
4．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（       ）

A．（2，＋∞） B．（1，＋∞）
C． D．[1，＋∞）
【答案】A
【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，求出，得到，，即得解.
【详解】解：如图，设，由，得，
所以在点处的切线方程为，从而，
根据抛物线的定义，得
又，，所以
由，，得是的中点，则，从而．
故选：B．


6.（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（       ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义得，求出，再分析求解即可.
【详解】根据抛物线定义得：，解得，所以，
所以.
故选：B.
7．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（       ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，

则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义可知，结合可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由可得，利用，可得答案.
【详解】由抛物线定义可知，∴，△PQF为正三角形，
设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知：，
∵，∴，∴，∴.
故选：B．

9．（2022·全国·高二课时练习多选题）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（       ）
A．是等边三角形 B．
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
【答案】ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:

因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
10．（2022·全国·高二课时练习多选题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为．设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断各选项的真假．
【详解】对A，由抛物线的定义可知，故A正确；
对B，因为是的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；
对C，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物线上异于的任意一点矛盾，故C不正确；
对D，因为四边形是矩形，所以，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（       ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
12．（2022·全国·高二单元测试多选题）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（       ）
A． B．为线段的中点
C． D．
【答案】AB
【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值，过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解.
【详解】解：易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，
∴．
过点作垂直准线于点，易知，
∴，∴．.
∵，∴为线段的中点．
故选：AB．


13.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．
【答案】6
【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．
【详解】如图所示，连接．因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以，
点到抛物线的准线的距离为3，则易知，由抛物线定义知．

故答案为：6．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且，则___________．
【答案】12
【分析】根据题意可得F为△ABC的重心，根据重心坐标公式解得，再结合抛物线定义代入整理计算．
【详解】由题意知，设，，，
，F为△ABC的重心
，即，
则．
故答案为：12．