第五章 5.7 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列不可能是函数f(x)的对称中心的是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　T＝－，解得T＝π，∴ω＝2，又图象过点，∴2sin＝2，则φ＝－＋2kπ，k∈Z，∴f(x)＝2sin，∵f＝2sin＝－2≠0，∴不可能是函数f(x)的对称中心，故选B.

2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(　　)

A．[0,5]   B．[5,10]

C．[10,15]   D．[15,20]

答案　C

解析　∵F(t)＝50＋4sin(t≥0)，由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.∵t≥0，∴当k＝0时，递增区间为[0，π]，当k＝1时，递增区间为[3π，5π]，∵[10,15]⊆[3π，5π]，∴此时函数单调递增．故选C.

3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝.

4．如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)

A．ω＝，A＝3   B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5   D．ω＝，A＝5

答案　B

解析　∵y＝Asin(ωt＋φ)＋2，最高点离平衡位置距离是3，∴A＝3.∵水轮每分钟旋转4圈，转动一周为一个周期，∴T＝15秒，ω＝＝.故ω＝，A＝3.

5．如图，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC＝，测得β＝.若β很小时，可取sinβ≈β，其中β用弧度制表示，试估算该气球的高BC的值约为(　　)

A．70 m  B．86 m  C．102 m  D．118 m

答案　B

解析　由已知，CD＝3 m，β＝.∵＝sinβ＝β＝，∴AC＝×3≈172(m)，∴BC＝ACsin≈86(m)．

二、填空题

6．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s往返一次．

答案　0.8

解析　由图象知周期T＝0.8－0＝0.8(s)，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．

7．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________ ℃.

答案　20.5

解析　x＝6时，ymax＝a＋A＝28，x＝12时，

ymin＝a－A＝18，解得a＝23，A＝5.所以当x＝10时，

y＝23＋5cos＝20.5.

8．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________．

答案　h＝－6sint，t∈[0,24]

解析　根据题图设h＝A·sin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，∴＝12，∴ω＝，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6sin＝－6sint，t∈[0,24]．

三、解答题

9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．

设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较．

解　(1)T＝＝＝(min)．

(2)f＝＝80(次)．

(3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg，

p(t)min＝115－25＝90 mmHg.

即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg，比正常值高．

10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.

(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；

(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)

(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?

解　(1)依题意知T＝＝12，

故ω＝，h＝＝12.2，

A＝16－12.2＝3.8，

所以d＝3.8sin＋12.2；

又因为t＝4时，d＝16，

所以sin＝1，

所以φ＝－，

所以d＝3.8sin＋12.2.

(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．

(3)令3.8sin＋12.2<10.3，

有sin＜－，

因此2kπ＋＜t－<2kπ＋(k∈Z)，

所以2kπ＋<t<2kπ＋2π(k∈Z)，

所以12k＋8<t<12k＋12.

令k＝0，得t∈(8,12)；

令k＝1，得t∈(20,24)．

故这一天共有8 h水深低于10.3 m.

B级：“四能”提升训练

1．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．

解　(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当θ＞时，

∠BOM＝θ－.

h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin；

当0≤θ≤时，上述解析式也适合．

则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin.

(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，

∴t秒转过的弧度数为t，

∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．

2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？

解　(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，

所以f(8)＝500.

根据上述分析可得，＝12，

故ω＝，且解得

根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，

当x＝8时，f(x)最大，

故sin＝－1，且sin＝1.

又因为|φ|＜π，故φ＝－.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)＝200sin＋300.

(2)由题意可得，200sin＋300≥400，

化简，得sin≥⇒2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.

因为x∈N＋，且1≤x≤12，

故x＝6,7,8,9,10.

即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400份的食物．