数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品一课一练

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第4练 空间点、直线、平面之间的位置关系                                                                                                                                                                        一．选择题1．用符号语言表示下列语句，正确的个数是　　（1）点在平面内，但不在平面内：，；（2）直线经过平面外的点，且不在平面内：，，；（3）平面与平面相交于直线，且经过点，．A．1 B．2 C．3 D．0【解析】（1）点和平面的关系应是，，故（1）错误；易判断（2）（3）正确．故选：．2．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的　　A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】根据题意，在空间中，直线与没有公共点，直线和平行或异面，反之，若直线与异面，则直线与没有公共点，故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件，故选：．3．给出下列判断，其中正确的是　　A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和一个点唯一确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【解析】对于，三点共线时，平面不唯一，故错误，对于，点在直线上时，平面不唯一，故错误，对于，两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内，故正确，对于，三直线过同一点时，可不在同一平面内，故错误，故选：．4．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面．其中不正确的是　　A．④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤【解析】如图所示的是平行四边形所在的平面，对于①，由平面的定义得：可以表示为平面，故①正确；对于②，平面可以用封闭图形有对角字母表示，可以表示为平面，故②正确；对于③，平面不能表示这个表面，故③错误；对于④，这个平面可以表示为平面，故④正确；对于⑤，平面可以用封闭图形有对角字母表示，可以表示为平面，但是不能表示为，故⑤错误；对于⑥，这个平面可以表示为平面，故⑥正确．故选：．5．下列结论错误的个数是　　（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）若直线平面，，则过点且平行于直线的直线有无数条；（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．A．0 B．1 C．3 D．2【解析】对于（1），若一条直线和平面内一条直线平行，当该直线也在平面内时，那么这条直线和这个平面不平行，故（1）错误；对于（2），若直线平面，，则过点且平行于直线的直线只有一条，故（2）错误；对于（3），如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，当这两条直线平行时，这两个平面平行或相交，故（3）错误；对于（4），如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故（4）正确．所以错误的有3个．故选：．6．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【解析】根据题意，设正方体的棱长为1，连接，和，又由，分别为棱，的中点，则，故或其补角异面直线与所成角，在△中，，则，故异面直线与所成角为，其余弦值为；故选：．7．过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面　　A．不可能作出 B．只能作出一个 C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在【解析】过直线外两点作与平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．因此只有正确．故选：．8．如图是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，则在正方体中，直线与直线的位置关系为　　A．相交 B．平行 C．异面 D．重合【解析】根据题意，由正方体的表面展开图还原成正方体，如图，易得直线与异面，故选：．9．在长方体中，直线与平面的交点为，为线段的中点，则下列结论错误的是　　A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面【解析】连接，，则，，，，四点共面，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以在平面与平面的交线上，同理在平面与平面的交线上，所以，，三点共线．选项、、均正确，选项错误．故选：．10．下列说法正确的是　　A．空间中的任意三点可以确定一个平面 B．四边相等的四边形一定是菱形 C．两条相交直线可以确定一个平面 D．正四棱柱的侧面都是正方形【解析】对于，空间中的不共线的三点可以确定一个平面，故错误；对于，四边相等的四边形也可能是空间四边形，故错误；对于，两条相交直线可以确定一个平面，故正确；对于，正四棱柱的侧面都是矩形，故错误．故选：．11．下列条件中，能够确定一个平面的是　　A．两个点 B．三个点 C．一条直线和一个点 D．两条相交直线【解析】对于：两点确定一直线，故错误；对于：不在同一直线上的三点确定一个平面，故错误；对于：一条直线和不在直线上的一个点确定一个平面，故错误；对于：两条相交直线确定一个平面，故正确．故选：．12．图中，、、、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在的棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有　　A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④【解析】在①中，、分别是所在棱的中点，，故①错误；在②中，直线、既不平行又不相交，是异面直线，故②正确；在③中，与平行且不相等，与相交，故③错误；在④中，直线、既不平行又不相交，是异面直线，故④正确．故选：．13．若和是异面直线，和是异面直线，则和的位置关系是　　A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面【解析】在长方体中，①若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，则满足和是异面直线，和是异面直线，而和相交；②若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和平行；③若直线记为直线，直线记为直线，直线记为直线，此时和异面；故选：．14．在空间四边形的各边，，，上依次取点，，，，若、所在直线相交于点，则　　A．点必在直线上 B．点必在直线上 C．点必在平面外 D．点必在平面内【解析】如图：连接、、，、所在直线相交于点，且，平面，平面，平面，且平面，由平面平面，，故选：．15．对于平面外一直线，下列说法正确的是　　A．内的所有直线都与异面 B．内有无数条直线与垂直 C．内没有直线与相交 D．内有无数条直线与平行【解析】直线为平面外的直线，或与相交，当时，内的直线与平行或异面，当与相交时，内的直线与相交或异面．错误，内有无数条直线与垂直，正确．故选：．16．在以下四个图中，直线与直线平行的位置关系只能是　　A． B． C． D．【解析】选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；选项中，平面，内的两直线异面，则与异面；选项中，平面，内的两直线相交，两相交直线可以求得一个平面，则与相交或平行，由图可知，与平行．故选：．17．设点为正方形的中心，为平面外一点，为等腰直角三角形，且，若是线段的中点，则　　A．，且直线、是相交直线 B．，且直线、是相交直线 C．，且直线、是异面直线 D．，且直线、是异面直线【解析】连接，如图， 由题意，，，，由，，，分别为、的中点，则，，四边形是等腰梯形，，且直线、是相交直线．故选：．18．已知直线，，，若，异面，，则，的位置关系是　　A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面【解析】在正方体中，如图，和是异面直线，，，和是异面直线，，和是异面直线，直线，，，，异面，，则，的位置关系是相交或异面．故选：．19．若直线，是异面直线，点是空间中不在直线，上的任意一点，则　　A．不存在过点且与直线，都相交的直线 B．过点一定可以作一条直线与直线，都相交 C．过点可以作无数多条直线与直线，都相交 D．过点至多可以作一条直线与直线，都相交【解析】直线，是异面直线，点是空间中不在直线，上的任意一点，点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可知，直线与平面相交或平行，（1）若直线与平面相交，如图1，记，①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线．（2）若直线与平面平行，如图2，则不存在过点且与，都相交的直线．综上，过点至多可以作一条直线与直线，都相交．故选：． 20．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是　　A．与是两条相交直线 B．平面 C． D．，，，四点共面【解析】在直四棱柱中，由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；因为，平面，平面，所以平面，故选项正确；由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误．故选：．二．多选题21．下列说法正确的是　　A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．四边形一定是平面图形【解析】对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以错误；对于，三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以三角形是平面图形，选项正确；对于，梯形的一组对边平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，选项正确；对于，四边形也可能是空间四边形，所以选项错误．故选：．22．如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，则　　A．平面 B．平面 C．平面 D．直线，，交于一点【解析】因为，所以，又，分别为，的中点，所以，且，则，易知平面，与为相交直线，即正确，，错误；因为为梯形，所以与必相交，设交点为，所以平面，平面，则是平面与平面的一个交点，所以，即直线，，交于一点，即正确．故选：．23．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确的是　　A． B． C．与为异面直线 D．【解析】作出正方体的直观图，如图，由直观图可知与为互相垂直的异面直线，故错误；，故正确；与为异面直线，故正确；由正方体性质得平面，故，故正确．故选：．24．已知直线平面，直线平面，则直线，可能　　A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直【解析】在正方体中，直线平面，直线平面，直线直线，且直线与直线垂直；直线平面，直线平面，直线直线；、的中点分别为，，直线平面，直线平面，直线与直线是异面直线．由直线平面，直线平面，得到直线，可能相交且垂直、平行或异面．故选：．25．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系可以是　　A．相交 B．平行 C．异面 D．重合【解析】在正方体中，和是异面直线，，和是异面直线；和是异面直线，，和是相交直线，若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是异面或相交．故选：．三．填空题26．不共线的三点确定 　　个平面．（填数字）【解析】由平面的基本性质可知，不共线的三点唯一确定一个平面，故答案为：1．27．已知定直线，定点，则直线与点确定的平面有 　　个（请填写个数）．【解析】由平面的基本性质及推论可知，经过直线和直线外一点有且只有一个平面，定直线，定点，则直线与点确定的平面有1个，故答案为：1．28．正方体中，、分别是棱，的中点，则直线与的位置关系是 　　．【解析】正方体中，、分别是棱，的中点，平面，平面，，直线与的位置关系是异面．故答案为：异面．29．在正方体中，与棱所在直线异面的棱有 　　条．【解析】在正方体中，与棱所在直线异面的棱有：、、、，共4条．故答案为：4．30．已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线的位置关系是 　　．【解析】若，是异面直线，如图，则直线与直线的关系是相交或异面，不可能平行，否则若，又，则，与、是异面直线矛盾．故答案为：相交或异面．31．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为 　　．【解析】根据题意，直线与直线为两条异面直线，若直线，那么直线与直线可能异面或相交；如图，正方体中，和是异面直线，直线，则有和是异面直线，，则与相交，直线与为两条异面直线且直线平行于直线，则直线与直线的位置关系为相交或异面故答案为：异面或相交．32．已知空间直线，，且与是异面直线，那么与的位置关系是 　  　．【解析】如图所示①令直线为，直线为，直线为，直线为，当与是异面直线时，与是异面关系，②令直线为，直线为，直线为，直线为，当与是异面直线时，与是相交关系，故答案为：相交或异面．33．空间两个平面最多将空间分成 　　部分．（填数字）【解析】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分，故答案为：4．34．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是　　．【解析】与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是平行、相交或异面．如图：故答案为：平行、相交或异面． 35．给出下列说法：①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是　　．【解析】和某一直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直线若交于同一点，则可以不共面；有三个不同公共点的两个平面可以是相交；因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，满足条件的第四条直线必在该平面内；其中正确命题为④．故答案为：④．36．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有 　　对异面直线．【解析】如图，在正方体中，与棱异面的有，，，共4对，正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，异面直线共有对．故答案为：24．37．已知直线，如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有 　　条．【解析】由题意作图如右图，其中，，，，异面，则平面内任一条与平行的直线都满足要求．满足条件的直线有无数条．故答案为：无数．四．解答题38．如图所示，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）证明：四边形是平行四边形；（2），，，四点是否共面？为什么？【解析】（1）证明：由，分别为，的中点，可得，，又，，，四边形是平行四边形，（2），，，四点共面，理由如下：由，，为的中点知，四边形为平行四边形，，由（1）知，，与共面，又，，，，四点共面．39．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：（1）和共面；（2）和是异面直线．【解析】证明：（1）如图，连接，，，因为点、分别是、的中点，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面，所以和共面．（2）因为是正方体，所以，，，不共面，假设和不是异面直线，则存在平面，使平面，平面，所以，，，平面，这与，，，不共面矛盾，所以假设不成立，即和是异面直线．40．已知、、、是空间四个点，且直线与是两条异面直线．用反证法证明：直线与也是异面直线．【解析】证明：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，，，，四点在同一平面内，、就分别有两个点在这个平面内，则，在这个平面内，与不是异面直线，这与已知条件产生矛盾，和是异面直线．41．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：（1），，，四点共面；（2）与的交点在直线上．【解析】证明：（1），，，分别为，的中点，，，，，，四点共面．（2）、不是、的中点，，且，与必相交，设交点为，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，与的交点在直线上．