初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时当堂检测题

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6 应用一元二次方程
第1课时
核心回顾
1．应用一元二次方程解决几何图形问题：
(1)主要包括面积型问题和线段型问题．
(2)线段型问题列方程的主要依据：线段的和差倍分关系或__勾股定理__．
2．动点问题：
设动点的运动时间为未知数，并用未知数表示运动路线的__长度__．
3．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，找出__等量关系__．
(2)设：设出__未知数__，用所设的__未知数__表示其他未知量．
(3)列：列一元二次方程．
(4)解：解一元二次方程．
(5)验：检验所求的解是否符合题意，确定__未知数__的值．
(6)答：作答．
微点拨
1．要整体且系统地弄懂题意，不要漏掉隐含的条件．
2．要把握问题中的等量关系，找出关键词语，提炼出数量之间的相等关系．
3．要正确求解方程的根，并检验根的合理性．
基础必会
1．如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则满足的方程是(B)
A．(80＋x)(50＋x)＝5 400
B．(80＋2x)(50＋2x)＝5 400
C．(80＋2x)(50＋x)＝5 400
D．(80＋x)(50＋2x)＝5 400
2．如图所示，把底面直径为60 mm，高为200 mm的圆柱形钢材，锻压成底面为正方形，高为157 mm的长方体零件毛坯，那么零件毛坯的底面正方形的边长为 (π取3.14)(D)
A．30 mm B．40 mm
C．50 mm D．60 mm
3．如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为(B)
A．5 m B．5.2 m
C．6 m D．6.2 m
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当三角形PBQ的面积为12 cm2时，则点P运动的时间是(A)
A．2 s B．3 s C．4 s D．6 s
5．参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，共签署了45份合同，则共有______家公司参加了商品交易会．(C)
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，那么它的三边长为__6，8，10__．
7.在小岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A 40 eq \r(2) km，台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心50 km以内圆形区域(包括边界)都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为__2__h__．
8．把一个正方形的一边长度增加1，另一边的长度减少3，得到的矩形面积为32，求正方形的边长．
解析:设正方形的边长为x，
根据题意得，(x＋1)(x－3)＝32，
解得：x1＝7，x2＝－5(不合题意舍去)，
答：正方形的边长为7.
9．如图所示是“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的 eq \f(33,25) .求镶上的木质框架的宽为多少米．
解析:设镶上的木质框架的宽为y米，
由题意得：(6＋3y)(2＋2y)＝6×2× eq \f(33,25) .
解得：y1＝0.2，y2＝－3.2(不合题意，舍去)，
答：镶上的木质框架的宽为0.2米．
10．(1)一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？
(2)在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
解析:(1)在Rt△AOB中，AB＝10米，AO＝8米，根据勾股定理得OB＝6米，设梯子的底端滑动x米，根据题意列方程，(8－1)2＋(6＋x)2＝102.解得，x1＝ eq \r(51) －6，x2＝－ eq \r(51) －6(不符合题意，舍去).
答：梯子的底端滑动( eq \r(51) －6)米．
(2)设梯子顶端下滑y米时，梯子底端滑动的距离和它相等，(8－y)2＋(6＋y)2＝102，
解得，y1＝2，y2＝0(不符合题意，舍去).
答：梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
11．用长12 m的一根铁丝围成长方形．
(1)如果长方形的面积为5 m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？
(2)能否围成面积是10 m2的长方形？为什么？
解析:(1)设长方形的宽为x m，则长为(6－x)m，根据题意得x(6－x)＝5，
解得x1＝5，x2＝1，又x＜6－x，
∴x1＝5(舍去)，∴6－1＝5(m)，∴当长方形的宽为1 m，长为5 m时，面积为5 m2.
(2)当面积为10 m2时，x(6－x)＝10，即x2－6x＋10＝0，此时Δ＝36－40＜0，故此方程无实数根，这样的长方形不存在．
能力提升
1．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原来的两位数之积为1 612，则原来的两位数为(C)
A．26 B．62
C．26或62 D．以上均不对
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为(C)
A．1或4 B．1或6 C．2或4 D．2或6
3．一个小球以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达到10 m高？(C)
A．2 s B．1 s
C．1 s或2 s D．无法确定
4．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8 cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P作PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16 cm2？设AP的长为x cm，列出关于x的方程为__x(8－x)＝16__．
5．一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则各边垂下的长度为__1__米．
6．疫情期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙(可利用的围墙长度仅有5米)，另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米．
解析:设AB＝x米，则BC＝(9＋1－2x)米，
根据题意可得，x(10－2x)＝12，解得x1＝3，x2＝2，
当x＝3时，AD＝4＜5，当x＝2时，AD＝6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5米，
∴AB的长为3米．
答：AB的长度为3米．
7．用总长680 cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG.已知DG＝60 cm，设正方形的边长AB＝x cm.
(1)当x＝72时，EG的长为________ cm；
(2)置物架ABCD的高AD的长为____________ cm(用含x的代数式表示)；
(3)为了便于置放物品，EG的高度不小于22 cm，若矩形ABCD的面积为12 000(cm2)，求x的值．
解析:∵矩形DGMN和矩形CNMH全等，
∴MN＝CH＝DG＝60 cm.
若AB＝x cm，则AE＝BF＝EF＝CD＝GH＝x cm，
∴EG＝ eq \f(680－6x－3×60,2) ＝(250－3x)cm.
(1)当x＝72时，EG＝250－3x＝250－3×72＝34(cm).
答案：34
(2)依题意得：AD＝AE＋EG＋DG＝(310－2x)cm.
答案：(310－2x)
(3)依题意得：x(310－2x)＝12 000.
整理得：x2－155x＋6 000＝0，
解得：x1＝75，x2＝80.
∵EG的高度不小于22 cm，
即250－3x≥22，
∴x≤76，
∴x2＝80不合题意，舍去．
答：x的值为75 cm.