人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算练习

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A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2022·广东肇庆高一期末]已知z(1＋i)＝3＋i，则复数z＝( )
A．2＋i B．2－i
C．1－i D．1＋i
3．[2022·山东青岛高一期末]已知复数z满足z＋4i＝6＋zi，其中i为虚数单位，则复数z＝________．
4．已知z1＝1－i，z2＝3－2i.
(1)求z1z2；
(2)求 eq \f(\(z,\s\up6(－))2,\(z,\s\up6(－))1) .
5.已知复数z＝ eq \f(a＋i,1－i) (a∈R)，若z－ eq \f(1,2) 为纯虚数，则z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．(多选)[2022·河北承德高一期末]已知复数z＝(1＋i)(3－i)，则( )
A．z的虚部是2i
B．z的实部是4
C．z的共轭复数是4－2i
D． eq \f(1,z) ＝ eq \f(1,5) － eq \f(1,10) i
7．[2022·湖北十堰高一期末]已知复数z1、z2是关于x的方程x2－6x＋10＝0的两个根，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1＋2z2)) ＝________．
8．[2022·山东济南高一期末]已知复数z1＝a＋i，z2＝1－ai，其中i是虚数单位，a∈R.
(1)若z1·z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2z1＋2＝0，求 eq \f(z1,z2) 的虚部．
9．[2022·福建福州高一期末]已知复数z1＝m－3i，z2＝1＋2i(m∈R).
(1)若z1z2为实数，求m的值；
(2)若复数z1在复平面内对应的点在第三象限，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1)) ≥5，求实数m的取值范围．
10．[2022·河北沧州高一期末]设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，已知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝ eq \r(10) ，且 eq \(z,\s\up6(－)) ·(3＋i)为纯虚数．
(1)求z；
(2)若a>0，且复数z1＝ eq \f(m－i,z) 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
11.(多选)[2022·山东济南高一期末]已知z为复数，下列说法正确的是( )
A．z eq \(z,\s\up6(－)) ＝z2 B．z eq \(z,\s\up6(－)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) 2
C． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z＋\(z,\s\up6(－)))) ≤2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) D．z＋1>z
12．已知复数z＝1－i.
(1)设ω＝ eq \f(5,z2＋1) ＋3 eq \(z,\s\up6(－)) －4，求ω的值；
(2)求满足不等式 eq \f(|az＋i|,\r(a＋2)) ≥ eq \f(\r(3),3) 的实数a的取值范围．
答案：
1．解析：由题意得z＝7＋9i，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
答案：A
2．解析：z＝ eq \f(3＋i,1＋i) ＝ eq \f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）) ＝ eq \f(4－2i,2) ＝2－i，故选B.
答案：B
3．解析：z－zi＝6－4i，所以z＝ eq \f(6－4i,1－i) ＝ eq \f(（6－4i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）) ＝5＋i.
答案：5＋i
4．解析：(1)因为z1＝1－i，z2＝3－2i，
所以z1z2＝(1－i)(3－2i)＝3－2i－3i＋2i2＝1－5i；
(2) eq \f(\(z,\s\up6(－))2,\(z,\s\up6(－))1 ) ＝ eq \f(3＋2i,1＋i) ＝ eq \f(（3＋2i）（1－i）,（1＋i）（1－i）) ＝ eq \f(5－i,2) ＝ eq \f(5,2) － eq \f(i,2) .
5．解析：由题意得z＝ eq \f(（a＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）) ＝ eq \f(a－1,2) ＋ eq \f(a＋1,2) i，
因为z－ eq \f(1,2) 为纯虚数，所以 eq \f(a－1,2) ＝ eq \f(1,2) ，即a＝2.
所以z＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(3,2) i在复平面内对应的点在第一象限．故选A.
答案：A
6．解析：z＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，z的实部是4，故B正确；
虚部是2，故A错误；
z的共轭复数为4－2i，故C正确；
eq \f(1,z) ＝ eq \f(1,4＋2i) ＝ eq \f(4－2i,（4＋2i）（4－2i）) ＝ eq \f(4－2i,20) ＝ eq \f(1,5) － eq \f(1,10) i，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
7．解析：由x2－6x＋10＝0可得(x－3)2＝－1，所以，x＝3±i.
①当z1＝3＋i，z2＝3－i时，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1＋2z2)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(9－i)) ＝ eq \r(82) ；
②当z1＝3－i，z2＝3＋i时，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1＋2z2)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(9＋i)) ＝ eq \r(82) .
综上所述， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1＋2z2)) ＝ eq \r(82) .
答案： eq \r(82)
8．解析：(1)由题意得，z1·z2＝(a＋i)(1－ai)＝2a＋(1－a2)i，
因为z1·z2为纯虚数，所以a＝0且1－a2≠0，综上，a＝0.
(2)因为z1＝a＋i，所以(a＋i)2＋2(a＋i)＋2＝0，即(a＋1)2＋2(a＋1)i＝0，
所以a＝－1，所以 eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(－1＋i,1＋i) ＝ eq \f(i2＋i,1＋i) ＝i，
所以 eq \f(z1,z2) 的虚部为1.
9．解析：(1)z1z2＝(m－3i)(1＋2i)＝m＋6＋(2m－3)i是实数，则2m－3＝0，m＝ eq \f(3,2) ；
(2)复数z1在复平面内对应的点在第三象限，则m<0，
又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1)) ＝ eq \r(m2＋9) ≥5而m<0，所以m≤－4.
10．解析：(1) eq \(z,\s\up6(－)) ·(3＋i)＝(a－bi)(3＋i)＝(3a＋b)＋(a－3b)i，
∵ eq \(z,\s\up6(－)) ·(3＋i)为纯虚数， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝ eq \r(10) ，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3a＋b＝0，,a－3b≠0，,a2＋b2＝10，)))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝3.)))
∴z＝1－3i或z＝－1＋3i.
(2)∵a>0，∴z＝1－3i，
z1＝ eq \f(m－i,1－3i) ＝ eq \f(（m＋3）＋（3m－1）i,10) ，
又∵复数z1在复平面内对应的点在第一象限，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(m＋3>0,3m－1>0))) ，
解得m> eq \f(1,3) ，即实数m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) .
11．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则 eq \(z,\s\up6(－)) ＝a－bi(a，b∈R)，
对于A，因为z eq \(z,\s\up6(－)) ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi＋(bi)2＝a2－b2＋2abi，所以z eq \(z,\s\up6(－)) ≠z2，所以A错误，
对于B，因为z eq \(z,\s\up6(－)) ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) 2＝( eq \r(a2＋b2) )2＝a2＋b2，所以，z eq \(z,\s\up6(－)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) 2，所以B正确，
对于C，因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z＋\(z,\s\up6(－)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a)) ＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ，2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝2 eq \r(a2＋b2) ≥2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z＋\(z,\s\up6(－)))) ≤2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ，所以C正确，
对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误，故选BC.
答案：BC
12．解析：(1)∵z＝1－i.
∴ω＝ eq \f(5,（1－i）2＋1) ＋3(1＋i)－4＝ eq \f(5,1－2i) ＋3i－1
＝ eq \f(5（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）) ＋3i－1＝1＋2i＋3i－1＝5i；
(2)不等式为 eq \f(|a＋（1－a）i|,\r(a＋2)) ≥ eq \f(\r(3),3) ，
即 eq \f(\r(a2＋（1－a）2),\r(a＋2)) ≥ eq \f(\r(3),3) ，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2＋（1－a）2))≥a＋2,a＋2>0))) ，
整理得6a2－7a＋1≥0且a>－2，
解得－2所以实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,6))) ∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))