初中数学北师大版九年级下册第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系复习练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系复习练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

4 圆周角和圆心角的关系
一、选择题（共10小题）
1. 圆内接四边形 ABCD，∠A，∠B，∠C 的度数分别为 60∘，80∘，120∘， 则 ∠D 的度数为
A. 60∘B. 80∘C. 100∘D. 120∘

2. 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是
A. B.
C. D.

3. 如图，AB，BC 为 ⊙O 的两条弦，∠AOC-∠ABC=60∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 120∘B. 100∘C. 160∘D. 150∘

4. 如图，在 ⊙O 中，AB 所对的圆周角 ∠ACB=50∘，若 P 为 AB 上一点，∠AOP=55∘，则 ∠POB 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘

5. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知 ∠BCD 为 120∘，则 ∠BOD 的度数为
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 130∘

6. 如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 ∠BOD=130∘，则 ∠A 的度数为
A. 50∘B. 65∘C. 115∘D. 130∘

8. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，BC∥OA，连接 BO 并延长，交 ⊙O 于点 D，连接 AC，DC．若 ∠A=25∘，则 ∠D 的大小为
A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘

9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A，C，D，与 BC 相交于点 E，连接 AC，AE．若 ∠D=80∘，则 ∠EAC 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘

10. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AB=4，点 D，F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD，过点 A 作 AE⊥CD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+12FB 的最小值是
A. 3-1B. 3+1C. 332-1D. 332+1

二、填空题（共5小题）
11. 已知一条弧所对的圆周角的度数是 15∘，则它所对的圆心角的度数是 ．

12. 如图，在 ⊙O 内接四边形 ABCD 中，若 ∠ABC=100∘，则 ∠ADC= ∘．

13. 如图，A，B，C 在 ⊙O 上的点，若 ∠AOB=100∘，则 ∠ACB= ．

14. 如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC=CB．若 ∠C=110∘，则 ∠ABC 的度数为 ．

15. 如图，⊙P 过点 O0,0，B3,0，A0,1，点 C 是 x 轴下方 ⊙P 上的一点，连接 CO，AC，若 OA=OC，则下列结论成立的为 ．（填写序号即可）
① ∠OCA=30∘；② ∠AOC=120∘；③ AC=OB；④点 C 的坐标为 12,-32．

三、解答题（共6小题）
16. 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，∠B=70∘，∠C=100∘，则 ∠A= ，∠D= ．

17. 如图，已知 CD，BE 是 ⊙A 的弦，CD=EB，请在图中的圆心角及其所对的弧、所对的弦之间，至少找出 5 对相等关系．

18. 已知：如图，PAB，PCD 是 ⊙O 的割线，PB=PD．
求证：AB=CD．

19. 如图，AH 是 △ABC 的高，D 是边 AB 上一点，CD 与 AH 交于点 E．已知 AB=AC，AD:DB=3:5．
（1）求 DE:EC；
（2）若以 H 为圆心、 HB 为半径的圆恰好经过点 D，求 csB 的值．

20. 如图，圆 O 中两条互相垂直的弦 AB，CD 交于点 E．
（1）M 是 CD 的中点，OM=3，CD=12，求圆 O 的半径长；
（2）点 F 在 CD 上，且 CE=EF，求证：AF⊥BD．

21. 如图，⊙O 为等边 △ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧 AB 上运动（不与点 A，B 重合），连接 DA，DB，DC．
（1）求证：DC 是 ∠ADB 的平分线；
（2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗?如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值．
答案
1. C
2. B
3. B
4. B
5. C
6. B
7. C
8. C
9. C
10. C
11. 30∘
12. 80
13. 50∘
14. 55∘
15. ①②③
16. 80∘；110∘
17. CD=EB，DE=CB，DBC=BDE，∠DAC=∠EAB，∠DAE=∠CAB．
18. 略
19. （1） 过点 D 作 DF⊥BC 交 BC 于点 F．
∵DF⊥BC，AH 为 △ABC 的高，
∴∠DFB=∠DFC=∠AHF=∠AHC=98∘，
∵∠ABC=∠DBF，
∴△ABH∽△DBF，
∴ABDB=BHBF，
∴ADDB=FHBF，
∵ADDB=35，
∴FHBF=35，
设 FH=3x，则 BF=5x，
∴BH=BF+FH=5x+3x=8x，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴CH=BH=8x，
∴FC=CH+FH=11x，
∵∠DFC=∠AHC，∠DCF=∠FCH，
∴△DFC∽△EHC，
∴DCEC=FCHC，
∴DCEC=11x8x=118．
∴DEEC=38．
（2） 以 H 为圆心，HB 为半径作圆，如图．
∵BC=2HB，
∴BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BDC=90∘．
由（1）知，BC=2BH=16x．
∵AD:DB=3:5，
∴ 设 AD=3k，DB=5k，
∴AB=AD+DB=3k+5k=8k，
∴AC=AB=8k，
在 Rt△ACD 中，CD2=AC2-AD2=8k2-3k2=55k2，
在 Rt△BDC 中，CD2=BC2-BD2=16x2-5k2=256x2-25k2，
∴256x2-25k2=55k2，
∴xk=±54，
∵xk>0．
∴xk=54，
在 Rt△BDC 中，csB=BDBC=5k16x=54．
20. （1） 连接 OD，如图：
∵M 是 CD 的中点，CD=12，
∴DM=12CD=6，OM⊥CD，∠OMD=90∘，
Rt△OMD 中，OD=OM2+DM2，且 OM=3，
∴OD=32+62=35，即圆 O 的半径长为 35．
（2） 连接 AC，延长 AF 交 BD 于 G，如图：
∵AB⊥CD，CE=EF，
∴AB 是 CF 的垂直平分线，
∴AF=AC，即 △ACF 是等腰三角形，
∵CE=EF，
∴∠FAE=∠CAE，
∵BC=BC，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠FAE=∠CDB，
Rt△BDE 中，∠CDB+∠B=90∘，
∴∠FAE+∠B=90∘，
∴∠AGB=90∘，
∴AG⊥BD，即 AF⊥BD．
21. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60∘，
∵∠ADC=∠ABC=60∘，∠BDC=∠BAC=60∘，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC 是 ∠ADB 的平分线．
（2） 四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数．
如图 1，
将 △ADC 绕点 C 逆时针旋转 60∘，得到 △BHC，
∴CD=CH，∠DAC=∠HBC．
∵ 四边形 ACBD 是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180∘，
∴∠DBC+∠HBC=180∘，
∴ 点 D，点 B，点 H 三点共线，
∵DC=CH，∠CDH=60∘，
∴△DCH 是等边三角形．
∴ 四边形 ADBC 的面积 S=S△ADC+S△BDC=S△CDH=34CD2，
∴S=34x2．
（3） 如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F，
∵ 点 D，点 E 关于直线 AC 对称，
∴EM=DM．同理 DN=NF．
∵△DMN 的周长 =DM+DN+MN=EM+FN+MN，
∴ 当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，△DMN 的周长有最小值．连接 CE，CF，DE，DF，
∴△DMN 的周长最小值为 EF=t．
∵ 点 D，点 E 关于直线 AC 对称，
∴CE=CD，∠ACE=∠ACD．
∵ 点 D，点 F 关于直线 BC 对称，
∴CF=CD，∠DCB=∠FCB，
∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120∘．
过点 C 作 CP⊥EF 于 P，
∵CE=CF，∠ECF=120∘，
∴EP=PF，∠CEP=30∘，
∴PC=12EC，PE=3PC=32EC，
∴EF=2PE=3EC=3CD=t，
∴ 当 CD 有最大值时，EF 有最大值，即 t 有最大值．
∵CD 为 ⊙O 的弦，
∴CD 为直径时，CD 有最大值 4，
∴t 的最大值为 43．