还剩23页未读，
继续阅读
数学八年级上册13.3.1 等腰三角形精练
展开
这是一份数学八年级上册13.3.1 等腰三角形精练，共26页。
13.3.1 等腰三角形
1．（2022·浙江宁波·八年级期末）某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设，现把长度相等的小棒依次摆放在射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．若只能摆放5根小棒，则的范围是（ ）．
A．15°＜θ＜18° B．15°＜θ≤18°
C．15°≤θ＜18° D．15°≤θ≤18°
2．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ ）
A．36° B．46° C．54° D．72°
3．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）．
A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°
4．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
5．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
8．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．全等三角形的对应边都相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
10．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B． C． D．
11．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
12．（2022·浙江衢州·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
13．（2022·浙江杭州·八年级期末）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．或 B． C． D．或
14．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．
15．（2022·浙江台州·八年级期末）如果等腰三角形的一个角比另一个角大30° ，那么它的顶角是_____度
16．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，等腰△ABC中，，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度是______．
17．（2022·浙江宁波·八年级期末）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为_____．
18．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为____．
19．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为_____．
20．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点A的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点D，E．的平分线交于点F，连接，若，则______．
21．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．
22．（2022·浙江金华·八年级期末）△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为______cm．
23．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度数．
24．（2022··八年级期末）已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，并说出该作法正确的理由．教材中的作法如图1，连结PC，PD，由作法可得OPC≌OPD，进而可得OP平分∠AOB．点点同学用直尺和圆规尝试了不同作法，如图2，以点O为圆心，适当长为半径作两段圆弧，与角的两边分别交于E，F两点和M，N两点，连结EN，FM交于点Q，作射线OQ．
(1)点点的作法能得到OMF与ONE全等吗？请说明理由．
(2)判断OQ是否为∠AOB的平分线，并说明理由．
25．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
26．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
27．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每一个小格的顶点叫做格点．在4×4的网格中画4个以格点为顶点，且面积等于4的等腰三角形（备注：每个图中各画一个）．
28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O．给出下列3个条件:①∠EBO=∠DCO；②AE=AD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ΔABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
29．（2022·浙江绍兴·八年级期末）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
30．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
31．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
32．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形．
（2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长．
参考答案：
1．C
【解析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．
解：∵A1A2=AA1，
∴为等腰三角形，
再根据三角形外交的性质，
得，
又∵小棒长度都相等，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
同理可得到，
，
，
又∵只能摆放五根小棒，
∴，
解得，
故选：C．
本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．
2．A
【解析】根据等边对等角，以及∠A的度数求出三角形两个底角的度数，进而求出∠ABD的度数．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠ABC－∠DBC=72°－36°=36°
故选：A．
本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
3．D
【解析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
．
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或，
故选：D．
本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型．
4．A
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝2∠BAD，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B，
∵∠B＝2∠BAD，
∴∠ADC＝3∠BAD，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC+∠C＝90°，
∴3∠BAD+2∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝18°，
故选：A．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．C
【解析】过点E作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：如图，过点E作于，
，是等腰三角形底边上的中线，
，
平分，，，
，
又，
的面积，
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．D
【解析】根据等腰三角形的三线合一性质证得BD=CD=BC，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，
∵，的面积为S，
∴S△ABE= AE·BD= ·AD·BC= ·AD·BC=，
故选：D．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的高、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
7．D
【解析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
8．B
【解析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．
解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
9．D
【解析】根据等腰三角形的判定与性质，可判断A；根据全等三角形的判定与性质，可判断B；根据平行线的判定与性质，可判断C；对顶角的性质，可判断D．
解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个底角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故不符合题意；
B、“全等三角形对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故不符合题意；
C、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
D、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故D符合题意；
故选：D．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．C
【解析】由题意，PA＝PC，由此判断即可．
解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，
故选：C．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【解析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE＋∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，相加可得结论．
解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别于AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故选：B．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．D
【解析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．
两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；
举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；
两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；
角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．
13．A
【解析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选：A．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，利用分类讨论的思想求解．
14．2-180°
【解析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−，
即∠MAB＋∠NAC＝180°−，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．80°或40°
【解析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x＋2（x−30）＝180
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y＋2（y＋30）＝180
y＝40，
故填：80°或40°．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．15°##15度
【解析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°．
故答案为：15°．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
17．65°或25°；
【解析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
当这个三角形是钝角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角的外角是50°，则底角是25°．
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
18．92°##92度
【解析】根据等腰三角形的性质可证∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED，求出∠CDE=∠BAD=28°，根据SAS可证△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠ABD，结合等腰三角形的性质得∠ACE=∠ABD=∠ACB，然后利用平行线的性质求解即可．
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB．
∵，
∴∠ADE=∠AED．
∵，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED．
∵∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB， ∠BAD=180°-∠ABC-∠ADB
∴∠CDE=∠BAD=28°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB．
∵，
∴∠ACE+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB=60°，
∴∠DOC=180°- ∠CDE-∠ACB =180°-28°-60°=92°，
故答案为92°．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．
【解析】根据题意，结合图形，分情况讨论：
①PE=OE；
②OP=PE；
③OP=OE．
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①当PE=OE时，PE⊥OC，
则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；
②当OP=PE时，∠OPE=90°，则F点就是（0，0）；
③当OP=OE时，则OF=6±3
F的坐标是：（0，6-3）或（0，6+3）．
本题考查综合应用点的坐标、等腰三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究的能力．
20．
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质解得AE=CE=BE，由CE=，可得，据此解答．
解：是等腰直角三角形，
是的平分线
故答案为：．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．15
【解析】先根据非负数的性质求得、的值，然后再根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系进行讨论即可得．
根据题意得：，，
解得：，，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
，
不能组成三角形，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，
能组成三角形，周长，
所以，三角形的周长为15，
故答案为：15．
本题了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边的关系，涉及了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，等腰三角形的性质等，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
22．3
【解析】设腰长为x，则底边为10-2x，根据三角形三边关系定理可得10-2x-x＜x＜10-2x+x，解不等式组即可．
解：设腰长为x，则底边为7-2x．
∵7-2x-x＜x＜7-2x+x，
∴1.75＜x＜3.5，
∵三边长均为整数，
∴x可取的值为2或3，
故各边的长为2，2，3或3，3，1．
∴该三角形最长边的长为3cm．
故答案为：3．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
23．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）先证明 再利用证明即可；
（2）先利用全等三角形的性质证明 结合三角形的内角和定理求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
（1）
证明： AB＝AC，
（2）
解：
∠DAE＝∠B＝28°，
本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质的应用，证明是解本题的关键.
24．(1)全等，见解析
(2)是，见解析
【解析】（1）利用“SAS”可证明△OMF≌△ONE；
（2）连结MN，由作法得OC=OD，由得，进一步得出，再证明△OMQ≌△ONQ，从而得出，最后证得结果；
（1）
全等，理由如下：
∵，，，
∴△OMF≌△ONE(SAS)．
（2）
连结MN，
∵，
∴
∵△OMF≌△ONE，
∴．
∴，
∴，
∴△OMQ≌△ONQ，
∴，
∴OQ平分∠AOB．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．
25．25°
【解析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
26．(1)见解析
(2)AB=BD+CD，理由见解析
【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．
（1）
解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）
AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
27．见解析．
【解析】根据等腰三角形的判定，利用网格即可画图．
解：如图所示：
本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
28．（1）①②与①③，②③（写前两个或写三个都对）（2）见解析
【解析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC＝∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
（1）①②与①③或②③（写前两个或写三个都对）
（2）选①③证明如下，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠DCO，
又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC＝∠ACB．
29．（1）证明见解析；（2）、、、．
【解析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
（1）证明：如图1，
，
，
在和中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，
∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵
∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，
∴，
∴、即：是等腰三角形，．
本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
30．（1）证明见解析；（2）70°
【解析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=20°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=20°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．
解：（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质：判定直角三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
31．(1)见解析
(2)45°
【解析】（1）证明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADE=∠C；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度数，则可求出答案．
（1）
证明：连接．
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠C；
（2）
∵BD=BE，∠B=30°，
∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，
∴∠ADE=105°，
∵∠ADE=∠C，
∴∠C=105°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ADE≌△ACE是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）9
【解析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）根据题意过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE．
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
在Rt△BEF中，
∵BF＝，BE＝2，
∴EF＝＝3，
∴DE＝3EF＝9．
本题主要考查等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定和勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键．
13.3.1 等腰三角形
1．（2022·浙江宁波·八年级期末）某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设，现把长度相等的小棒依次摆放在射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．若只能摆放5根小棒，则的范围是（ ）．
A．15°＜θ＜18° B．15°＜θ≤18°
C．15°≤θ＜18° D．15°≤θ≤18°
2．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（ ）
A．36° B．46° C．54° D．72°
3．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）．
A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°
4．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
5．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
8．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．全等三角形的对应边都相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．对顶角相等
10．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B． C． D．
11．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
12．（2022·浙江衢州·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
13．（2022·浙江杭州·八年级期末）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．或 B． C． D．或
14．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．
15．（2022·浙江台州·八年级期末）如果等腰三角形的一个角比另一个角大30° ，那么它的顶角是_____度
16．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，等腰△ABC中，，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度是______．
17．（2022·浙江宁波·八年级期末）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为_____．
18．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为____．
19．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为_____．
20．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点A的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点D，E．的平分线交于点F，连接，若，则______．
21．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．
22．（2022·浙江金华·八年级期末）△ABC为等腰三角形，周长为7cm，且各边长为整数，则该三角形最长边的长为______cm．
23．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度数．
24．（2022··八年级期末）已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，并说出该作法正确的理由．教材中的作法如图1，连结PC，PD，由作法可得OPC≌OPD，进而可得OP平分∠AOB．点点同学用直尺和圆规尝试了不同作法，如图2，以点O为圆心，适当长为半径作两段圆弧，与角的两边分别交于E，F两点和M，N两点，连结EN，FM交于点Q，作射线OQ．
(1)点点的作法能得到OMF与ONE全等吗？请说明理由．
(2)判断OQ是否为∠AOB的平分线，并说明理由．
25．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
26．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
27．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每一个小格的顶点叫做格点．在4×4的网格中画4个以格点为顶点，且面积等于4的等腰三角形（备注：每个图中各画一个）．
28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O．给出下列3个条件:①∠EBO=∠DCO；②AE=AD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ΔABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
29．（2022·浙江绍兴·八年级期末）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
30．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
31．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
32．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形．
（2）若AF＝BF＝，BE＝2，求线段DE的长．
参考答案：
1．C
【解析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．
解：∵A1A2=AA1，
∴为等腰三角形，
再根据三角形外交的性质，
得，
又∵小棒长度都相等，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
同理可得到，
，
，
又∵只能摆放五根小棒，
∴，
解得，
故选：C．
本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．
2．A
【解析】根据等边对等角，以及∠A的度数求出三角形两个底角的度数，进而求出∠ABD的度数．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠ABC－∠DBC=72°－36°=36°
故选：A．
本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
3．D
【解析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
．
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或，
故选：D．
本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型．
4．A
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝2∠BAD，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B，
∵∠B＝2∠BAD，
∴∠ADC＝3∠BAD，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC+∠C＝90°，
∴3∠BAD+2∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝18°，
故选：A．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．C
【解析】过点E作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：如图，过点E作于，
，是等腰三角形底边上的中线，
，
平分，，，
，
又，
的面积，
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．D
【解析】根据等腰三角形的三线合一性质证得BD=CD=BC，再根据三角形的面积公式求解即可．
解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，
∵，的面积为S，
∴S△ABE= AE·BD= ·AD·BC= ·AD·BC=，
故选：D．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的高、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
7．D
【解析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
8．B
【解析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．
解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
9．D
【解析】根据等腰三角形的判定与性质，可判断A；根据全等三角形的判定与性质，可判断B；根据平行线的判定与性质，可判断C；对顶角的性质，可判断D．
解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个底角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故不符合题意；
B、“全等三角形对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故不符合题意；
C、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
D、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故D符合题意；
故选：D．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．C
【解析】由题意，PA＝PC，由此判断即可．
解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，
故选：C．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【解析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE＋∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，相加可得结论．
解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线，相交于点O，，分别于AB，BC交于D，E，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2∠ABC=2×40°＝80°；
故选：B．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．D
【解析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．
两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；
举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；
两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；
角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．
13．A
【解析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选：A．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，利用分类讨论的思想求解．
14．2-180°
【解析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−，
即∠MAB＋∠NAC＝180°−，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．80°或40°
【解析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x＋2（x−30）＝180
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y＋2（y＋30）＝180
y＝40，
故填：80°或40°．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．15°##15度
【解析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°．
故答案为：15°．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
17．65°或25°；
【解析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
当这个三角形是钝角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角的外角是50°，则底角是25°．
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
18．92°##92度
【解析】根据等腰三角形的性质可证∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED，求出∠CDE=∠BAD=28°，根据SAS可证△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠ABD，结合等腰三角形的性质得∠ACE=∠ABD=∠ACB，然后利用平行线的性质求解即可．
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB．
∵，
∴∠ADE=∠AED．
∵，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED．
∵∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB， ∠BAD=180°-∠ABC-∠ADB
∴∠CDE=∠BAD=28°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB．
∵，
∴∠ACE+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠ACE=∠ABD=∠ACB=60°，
∴∠DOC=180°- ∠CDE-∠ACB =180°-28°-60°=92°，
故答案为92°．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．
【解析】根据题意，结合图形，分情况讨论：
①PE=OE；
②OP=PE；
③OP=OE．
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①当PE=OE时，PE⊥OC，
则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；
②当OP=PE时，∠OPE=90°，则F点就是（0，0）；
③当OP=OE时，则OF=6±3
F的坐标是：（0，6-3）或（0，6+3）．
本题考查综合应用点的坐标、等腰三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究的能力．
20．
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质解得AE=CE=BE，由CE=，可得，据此解答．
解：是等腰直角三角形，
是的平分线
故答案为：．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．15
【解析】先根据非负数的性质求得、的值，然后再根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系进行讨论即可得．
根据题意得：，，
解得：，，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
，
不能组成三角形，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，
能组成三角形，周长，
所以，三角形的周长为15，
故答案为：15．
本题了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边的关系，涉及了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，等腰三角形的性质等，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
22．3
【解析】设腰长为x，则底边为10-2x，根据三角形三边关系定理可得10-2x-x＜x＜10-2x+x，解不等式组即可．
解：设腰长为x，则底边为7-2x．
∵7-2x-x＜x＜7-2x+x，
∴1.75＜x＜3.5，
∵三边长均为整数，
∴x可取的值为2或3，
故各边的长为2，2，3或3，3，1．
∴该三角形最长边的长为3cm．
故答案为：3．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
23．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）先证明 再利用证明即可；
（2）先利用全等三角形的性质证明 结合三角形的内角和定理求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
（1）
证明： AB＝AC，
（2）
解：
∠DAE＝∠B＝28°，
本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质的应用，证明是解本题的关键.
24．(1)全等，见解析
(2)是，见解析
【解析】（1）利用“SAS”可证明△OMF≌△ONE；
（2）连结MN，由作法得OC=OD，由得，进一步得出，再证明△OMQ≌△ONQ，从而得出，最后证得结果；
（1）
全等，理由如下：
∵，，，
∴△OMF≌△ONE(SAS)．
（2）
连结MN，
∵，
∴
∵△OMF≌△ONE，
∴．
∴，
∴，
∴△OMQ≌△ONQ，
∴，
∴OQ平分∠AOB．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．
25．25°
【解析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
26．(1)见解析
(2)AB=BD+CD，理由见解析
【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．
（1）
解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）
AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
27．见解析．
【解析】根据等腰三角形的判定，利用网格即可画图．
解：如图所示：
本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
28．（1）①②与①③，②③（写前两个或写三个都对）（2）见解析
【解析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC＝∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
（1）①②与①③或②③（写前两个或写三个都对）
（2）选①③证明如下，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠DCO，
又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC＝∠ACB．
29．（1）证明见解析；（2）、、、．
【解析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
（1）证明：如图1，
，
，
在和中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，
∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵
∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，
∴，
∴、即：是等腰三角形，．
本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
30．（1）证明见解析；（2）70°
【解析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=20°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=20°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．
解：（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质：判定直角三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
31．(1)见解析
(2)45°
【解析】（1）证明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADE=∠C；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度数，则可求出答案．
（1）
证明：连接．
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠C；
（2）
∵BD=BE，∠B=30°，
∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，
∴∠ADE=105°，
∵∠ADE=∠C，
∴∠C=105°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ADE≌△ACE是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）9
【解析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）根据题意过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE．
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
在Rt△BEF中，
∵BF＝，BE＝2，
∴EF＝＝3，
∴DE＝3EF＝9．
本题主要考查等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定和勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键．
相关试卷
初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形习题： 这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形习题，共45页。试卷主要包含了千米等内容，欢迎下载使用。
人教版 (五四制)八年级上册20.2 画轴对称图形课时作业： 这是一份人教版 (五四制)八年级上册20.2 画轴对称图形课时作业，共22页。
人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质练习题： 这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质练习题，共14页。
