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初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定当堂检测题
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定当堂检测题，共25页。
12.2 三角形全等的判定
1．（2022·浙江湖州·八年级期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线．理由是连结CD，CE，证得．证的条件是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E
4．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，已知AD＝AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．BE＝CD D．∠ADC＝∠AEB
9．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在△DEC和△BFA中，点A，E，F，C在同一直线上，已知AB∥CD，且AB＝CD，若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．∠A＝∠C C．∠D＝∠B D．BF＝DE
10．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，已知，添加一个条件不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
12．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF ②△AED为等腰三角形
③BE＋DC＞DE④BE2＋DC2=DE2，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，在中，D是上的一点，，平分，交于点E，连接，若，，则_______．
14．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是 _____．
15．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，，，要使还需添加一个条件是______．（只需写出一种情况）
16．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 _____．（只需写出一种情况）
17．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知四边形，，，，如果，则的长为__________．
18．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，点F，C在线段上，．求证：．
19．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
20．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
21．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中，．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．
22．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，点D，E分别在AC，AB上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
23．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，是的边上一点，//，交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．
(1)求证：FD＝AC．
(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．
25．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
26．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE．
(2)若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
27．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠B=25°，∠BAC=40°，求∠BDC的度数．
28．（2022·浙江绍兴·八年级期末）已知：如图，点A，F，E，B在同一直线上，，，．求证：．
29．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：
（1）； （2）； （3）； （4）．
请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明．
30．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图：在正方形网格中，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上）．
（1）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△DEF．
（2）求△ABC的面积为 ．
（3）在△ABC中，作出BC边上的中线AG和AC边上的高线BH．（要求只能通过连接格点方式作图）．
31．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
32．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
参考答案：
1．D
【解析】根据全等三角形的判定定理推出即可．
解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
2．D
【解析】根据OE=OD，CE=CD，OC=OC，即可利用SSS证明．
解：由题意可得，OE=OD，CE=CD，
又∵OC=OC，
∴，
故选D．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
3．C
【解析】根据题目中给出的条件，，根据全等三角形的判定定理判定即可．
解：，，
则可通过，得到，
利用SAS证明△ABC≌△ADE，
故选：C．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：，，，．
4．C
【解析】首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可．
解：∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∴，
故选：C．
本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．
5．A
【解析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
6．B
【解析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．B
【解析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故A选项正确，不符合题意；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误，符合题意；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意．
故选：B．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．C
【解析】在△ABE和△ACD中, 已知AD=AE, 且公共角∠A=∠A, 因此再添加一组角相等或边相等的条件即可证明△ABE≌△ACD, 依据全等三角形判定定理对各个选项进行判断即可得到答案.
解:AD=AE, ∠A=∠A,
当AB=AC时, △ABE≌△ACD, 选项A与题意不符,
当∠B＝∠C时, △ABE≌△ACD, 选项B与题意不符,
当BE=CD时, △ABE与△ACD不一定全等, 选项C与题意相符,
当∠ADC＝∠AEB时, △ABE≌△ACD, 选项D与题意不符.
故选C.
由题意可知, 本题需要借助全等三角形的判定进行分析, 关键是熟练掌握全等三角形的判定定理;
9．C
【解析】根据平行线的性质得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
解：需添加的条件是∠D=∠B，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
在△DEC和△BFA中，
，
∴△DEC≌△BFA（ASA），
故选：C．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．A
【解析】根据证明三角形全等的条件，，，逐一验证选项即可．
解：在和中，
，，
、当时，不能证明两三角形全等，符合题意；
、当时，，故能证明，不符合题意；
、当时，通过条件，得出，能得出，故能证明，不符合题意；
、当时，，故能证明，不符合题意；
故选：A．
本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
11．A
【解析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．C
试题分析：：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB，∠CAD=∠BAF，AD=AF，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得，∵BF=DC，EF=DE，∴，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．
考点：1．等腰直角直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
13．55°
【解析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED．
解：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE与△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠A＝100°，
∵∠B＝45°，
∴∠BED＝∠CDE-∠B＝100°-45°＝55°，
故答案为：55°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100°．
14．
【解析】根据题目条件和图形可知，AE＝AD，公共角，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，添加的条件是即可得到结论．
解：添加的条件是．
理由如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
故答案为：．
本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL是解决问题的关键．
15．∠A＝∠D
【解析】由，可得∠ABC=∠DBE，再根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．
解：添加条件为∠A＝∠D，理由是：
∵，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴（AAS），
故答案为：∠A＝∠D．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．∠A=∠D（答案不唯一）
【解析】根据全等三角形的判定定理填空即可．
解：添加的条件是∠A=∠D，理由是：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
故答案为：∠A=∠D（答案不唯一）．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
17．
【解析】过作，交的延长线于，判定，即可得出，，依据是等腰直角三角形，，即可得到．
解：如图，过作，交的延长线于，
，
，
，
，，
四边形中，，
又，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
故答案为．
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．见解析
【解析】根据SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，可得结果．
解：∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+CF，
∴AC=DF，
又AB=DE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE．
本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)18
【解析】（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知条件中还有AB=DE，BC=EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的长．
（1）
证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）
解：∵点E为BC中点，EC=6，
∴EB=EC=6，
∴BC=EB+EC=6+6=12，
∴BC=EF=12，
∴BF=EB+EF=6+12=18，
∴线段BF的长度为18．
本题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
20．见解析
【解析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
21．小明这个方法正确，理由见解析
【解析】结合题意，根据全等三角形的性质分析，即可得到答案．
根据题意，在和中
∴≌
∴
∴小明这个方法正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
22．(1)见解析
(2)65°
【解析】（1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证；
（2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解．
（1）
证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）
解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据//，可得到角度之间的相等关系，用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等即可得到AD=CF=4，求出BD=AB-AD即可．
（1）
证明：∵，
∴，．
在和中，
，
∴．
（2）
∵，∴．
∴．
本题主要考查了三角形全等的判定和三角形全等的性质，熟练的掌握判定三角形全等的条件和三角形全等的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析，
(2)BC=4．
【解析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；
（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．
（1）
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠FAD，
∵FD⊥AC，
∴∠FAD=90°，
在△ADF和△ACE中，
∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，
∴△ADF≌△ACE，
∴FD＝AC．
（2）
由（1）可知，FD=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC，
在△FDG和△BCG中，
∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG，则CD=2CG=2，
∵△ADF≌△ACE，
∴AD=CE，
∵AC=BC，点E为BC中点，
∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，
∴BC=AC=4．
本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．
25．见详解
【解析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)1.5
【解析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB-AD即可得出结论．
（1）
解：证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）
∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4．
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)∠BDC=90°．
【解析】（1）利用角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，再直接利用ASA证明△ABD≌△ACD即可；
（2）利用角平分线的性质得到∠B=25°，由三角形内角和定理得到∠ADB =135°，利用全等三角形的性质得到∠ADC=∠ADB=135°，据此即可求解．
(1)
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=DA，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD(ASA)；
(2)
解：∵∠BAD=∠CAD，∠BAC=40°，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°．
又∵∠B=25°，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=135°．
又∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADC=∠ADB=135°，
又∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，
∴∠BDC=90°．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
28．证明见解析
【解析】因为，由等量加等量和相等可得到，又因为∠ACE＝∠BDF＝90°，，可用HL证得，即可证得∠A＝∠BFD
证明：∵
∴，即
又∵∠ACE＝∠BDF＝90°，
∴
∴∠A＝∠BFD．
本题考查了全等三角形的证明和性质，熟练掌握是解题的关键．
29．见解析（答案不唯一）
【解析】根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果，，，那么，进而证明，即可得（答案不唯一）
如果，，，那么.
证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴
本题考查了命题，三角形全等的性质与判定，理解题意写出命题是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）3；（3）见解析
【解析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F即可；
（2）利用三角形面积公式计算；
（3）找到BC的中点可画出中线AG，通过构建△BNM与△CKA全等得到BM⊥AC，从而高BG．
解：（1）如图，△DEF为所作；
（2）S△ABC＝×3×2＝3；
故答案为3；
（3）如图，AG和BH为所作．
本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．
【解析】（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
32．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
12.2 三角形全等的判定
1．（2022·浙江湖州·八年级期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线．理由是连结CD，CE，证得．证的条件是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E
4．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，已知AD＝AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．BE＝CD D．∠ADC＝∠AEB
9．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在△DEC和△BFA中，点A，E，F，C在同一直线上，已知AB∥CD，且AB＝CD，若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．∠A＝∠C C．∠D＝∠B D．BF＝DE
10．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，已知，添加一个条件不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
12．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF ②△AED为等腰三角形
③BE＋DC＞DE④BE2＋DC2=DE2，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·浙江浙江·八年级期末）如图，在中，D是上的一点，，平分，交于点E，连接，若，，则_______．
14．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是 _____．
15．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，，，要使还需添加一个条件是______．（只需写出一种情况）
16．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 _____．（只需写出一种情况）
17．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知四边形，，，，如果，则的长为__________．
18．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，点F，C在线段上，．求证：．
19．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
20．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
21．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中，．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．
22．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，点D，E分别在AC，AB上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
23．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，是的边上一点，//，交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．
(1)求证：FD＝AC．
(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．
25．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
26．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE．
(2)若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
27．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠B=25°，∠BAC=40°，求∠BDC的度数．
28．（2022·浙江绍兴·八年级期末）已知：如图，点A，F，E，B在同一直线上，，，．求证：．
29．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：
（1）； （2）； （3）； （4）．
请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明．
30．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图：在正方形网格中，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上）．
（1）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△DEF．
（2）求△ABC的面积为 ．
（3）在△ABC中，作出BC边上的中线AG和AC边上的高线BH．（要求只能通过连接格点方式作图）．
31．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
32．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
参考答案：
1．D
【解析】根据全等三角形的判定定理推出即可．
解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
2．D
【解析】根据OE=OD，CE=CD，OC=OC，即可利用SSS证明．
解：由题意可得，OE=OD，CE=CD，
又∵OC=OC，
∴，
故选D．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
3．C
【解析】根据题目中给出的条件，，根据全等三角形的判定定理判定即可．
解：，，
则可通过，得到，
利用SAS证明△ABC≌△ADE，
故选：C．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：，，，．
4．C
【解析】首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可．
解：∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∴，
故选：C．
本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．
5．A
【解析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
6．B
【解析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．B
【解析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故A选项正确，不符合题意；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误，符合题意；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意．
故选：B．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．C
【解析】在△ABE和△ACD中, 已知AD=AE, 且公共角∠A=∠A, 因此再添加一组角相等或边相等的条件即可证明△ABE≌△ACD, 依据全等三角形判定定理对各个选项进行判断即可得到答案.
解:AD=AE, ∠A=∠A,
当AB=AC时, △ABE≌△ACD, 选项A与题意不符,
当∠B＝∠C时, △ABE≌△ACD, 选项B与题意不符,
当BE=CD时, △ABE与△ACD不一定全等, 选项C与题意相符,
当∠ADC＝∠AEB时, △ABE≌△ACD, 选项D与题意不符.
故选C.
由题意可知, 本题需要借助全等三角形的判定进行分析, 关键是熟练掌握全等三角形的判定定理;
9．C
【解析】根据平行线的性质得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
解：需添加的条件是∠D=∠B，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
在△DEC和△BFA中，
，
∴△DEC≌△BFA（ASA），
故选：C．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．A
【解析】根据证明三角形全等的条件，，，逐一验证选项即可．
解：在和中，
，，
、当时，不能证明两三角形全等，符合题意；
、当时，，故能证明，不符合题意；
、当时，通过条件，得出，能得出，故能证明，不符合题意；
、当时，，故能证明，不符合题意；
故选：A．
本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
11．A
【解析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．C
试题分析：：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB，∠CAD=∠BAF，AD=AF，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得，∵BF=DC，EF=DE，∴，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．
考点：1．等腰直角直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
13．55°
【解析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED．
解：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE与△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠A＝100°，
∵∠B＝45°，
∴∠BED＝∠CDE-∠B＝100°-45°＝55°，
故答案为：55°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100°．
14．
【解析】根据题目条件和图形可知，AE＝AD，公共角，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，添加的条件是即可得到结论．
解：添加的条件是．
理由如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
故答案为：．
本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL是解决问题的关键．
15．∠A＝∠D
【解析】由，可得∠ABC=∠DBE，再根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．
解：添加条件为∠A＝∠D，理由是：
∵，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴（AAS），
故答案为：∠A＝∠D．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．∠A=∠D（答案不唯一）
【解析】根据全等三角形的判定定理填空即可．
解：添加的条件是∠A=∠D，理由是：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
故答案为：∠A=∠D（答案不唯一）．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
17．
【解析】过作，交的延长线于，判定，即可得出，，依据是等腰直角三角形，，即可得到．
解：如图，过作，交的延长线于，
，
，
，
，，
四边形中，，
又，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
故答案为．
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．见解析
【解析】根据SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，可得结果．
解：∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+CF，
∴AC=DF，
又AB=DE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE．
本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)18
【解析】（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知条件中还有AB=DE，BC=EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的长．
（1）
证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）
解：∵点E为BC中点，EC=6，
∴EB=EC=6，
∴BC=EB+EC=6+6=12，
∴BC=EF=12，
∴BF=EB+EF=6+12=18，
∴线段BF的长度为18．
本题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
20．见解析
【解析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
21．小明这个方法正确，理由见解析
【解析】结合题意，根据全等三角形的性质分析，即可得到答案．
根据题意，在和中
∴≌
∴
∴小明这个方法正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
22．(1)见解析
(2)65°
【解析】（1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证；
（2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解．
（1）
证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）
解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据//，可得到角度之间的相等关系，用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等即可得到AD=CF=4，求出BD=AB-AD即可．
（1）
证明：∵，
∴，．
在和中，
，
∴．
（2）
∵，∴．
∴．
本题主要考查了三角形全等的判定和三角形全等的性质，熟练的掌握判定三角形全等的条件和三角形全等的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析，
(2)BC=4．
【解析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；
（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．
（1）
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠FAD，
∵FD⊥AC，
∴∠FAD=90°，
在△ADF和△ACE中，
∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，
∴△ADF≌△ACE，
∴FD＝AC．
（2）
由（1）可知，FD=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC，
在△FDG和△BCG中，
∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG，则CD=2CG=2，
∵△ADF≌△ACE，
∴AD=CE，
∵AC=BC，点E为BC中点，
∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，
∴BC=AC=4．
本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．
25．见详解
【解析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)1.5
【解析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB-AD即可得出结论．
（1）
解：证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）
∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4．
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)∠BDC=90°．
【解析】（1）利用角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，再直接利用ASA证明△ABD≌△ACD即可；
（2）利用角平分线的性质得到∠B=25°，由三角形内角和定理得到∠ADB =135°，利用全等三角形的性质得到∠ADC=∠ADB=135°，据此即可求解．
(1)
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=DA，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD(ASA)；
(2)
解：∵∠BAD=∠CAD，∠BAC=40°，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°．
又∵∠B=25°，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=135°．
又∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADC=∠ADB=135°，
又∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，
∴∠BDC=90°．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
28．证明见解析
【解析】因为，由等量加等量和相等可得到，又因为∠ACE＝∠BDF＝90°，，可用HL证得，即可证得∠A＝∠BFD
证明：∵
∴，即
又∵∠ACE＝∠BDF＝90°，
∴
∴∠A＝∠BFD．
本题考查了全等三角形的证明和性质，熟练掌握是解题的关键．
29．见解析（答案不唯一）
【解析】根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果，，，那么，进而证明，即可得（答案不唯一）
如果，，，那么.
证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴
本题考查了命题，三角形全等的性质与判定，理解题意写出命题是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）3；（3）见解析
【解析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F即可；
（2）利用三角形面积公式计算；
（3）找到BC的中点可画出中线AG，通过构建△BNM与△CKA全等得到BM⊥AC，从而高BG．
解：（1）如图，△DEF为所作；
（2）S△ABC＝×3×2＝3；
故答案为3；
（3）如图，AG和BH为所作．
本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．
【解析】（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
32．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD=∠B=50°，∠A=∠D=22°，由平行线的性质定理易得∠ACE=∠A=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
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