河南省洛阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

洛阳市2021~2022学年第一学期期末考试

高一数学试卷

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合的真子集的个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.

【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.

故选：B.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式可求得结果.

【详解】.

故选：D

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】化简利用充要条件的定义可以判定.

【详解】化简得，因为时，；而时，不一定得出.

故“”是“”的充分不必要条件

故选：A

4. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

5. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】.

故选：C.

6. 若，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.

详解】由,

.

故选：D

7. 下列关于函数，的单调性叙述正确的是（    ）

A. 在上单调递增，在上单调递减

B. 在上单调递增，在上单调递减

C. 在及上单调递增，在上单调递减

D. 在上单调递增，在及上单调递减

【答案】C

【解析】

【分析】先求出函数的一般性单调区间，再结合选项判断即可.

【详解】的单调增区间满足：，

即，所以其单调增区间为：，

同理可得其单调减区间为：.

由于，令中的，有，，

所以在上的增区间为及.

令中的，有，

所以在上的减区间为.

故选：C

8. 已知，则函数与函数的图象可能是（    ）

A.   B. 

C.   D. 

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.

【详解】，所以，，不为1的情况下：

，

函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.

故选：D

【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.

9. 函数的部分图象如图，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．

【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，

∴，

当时取最大值1，即，

又，所以，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.

10. 已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.

【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.

故选：B.

【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.

11. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.

且，

当时，由可得，则；

当时，由可得，则.

综上所述，不等式的解集为.

故选：C.

12. 已知，为锐角，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】，根据正弦的差角公式展开计算即可.

【详解】∵，，∴，

又∵，∴，

又，∴，

∴，

，

∴

故选：A.

二､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数的图象过点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果.

【详解】为幂函数，可设，，解得：，

，.
故答案为：.

【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.

14. 已知函数，若，则___________.

【答案】0

【解析】

【分析】由，即可求出结果.

【详解】由知

，则，又因为，所以.

故答案：0.

15. 计算：______．

【答案】

【解析】

【分析】根据幂的运算法则，根式的定义计算．

【详解】．

故答案为：．

16. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出关于的函数解析式，将代入函数解析式，求出的值，可得出点的坐标，进而可求得的值.

【详解】由题意可知，，函数的最小正周期为，

则，所以，，

点对应，，则，可得，

，，故，

当时，，

因为，故点不与点重合，此时点，则.

故答案为：.

三､解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，集合，集合.

（1）求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简集合A，B，再利用交集运算求解；

（2）根据，化简集合，再根据求解.

【小问1详解】

解：∵，

∴，

∴集合.

∵，

∴，

∴集合.

∴.

【小问2详解】

∵，

∴.

∵，

∴，解得.

∴实数a的取值范围是.

18. 已知函数，.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）用括号中的正确条件填空.函数的图象可以用下面的方法得到：先将正弦曲线，向___________（左，右）平移___________（，）个单位长度；在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的___________（，2）倍，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的___________（，2）倍，最后再把所得曲线向___________（上，下）平移___________（1，2）个单位长度.

【答案】（1），   

（2）左，，，2，上，1

【解析】

【分析】（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式及两角和的正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求周期，由正弦型函数的单调性求单调区间;

（2）根据三角函数的图象变换过程求解即可.

【小问1详解】

，

∴函数的最小正周期.

由，

得：，，

∴的单调递减区间为，.

【小问2详解】

将的图象向左平移个单位，得到的图象，

在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，最后再把所得曲线向上平移1个单位长度，即可得到函数的图象.

19. 甲地到乙地的距离大约为240，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q（单位：）与速度v（单位：）（）的数据如下表：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.

（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

（2）从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

【答案】（1）最符合实际的模型为①，理由见解析   

（2）从甲地到乙地，该型号的汽车以80的速度行驶时能使总耗油量最少

【解析】

【分析】（1）根据定义域和单调性来判断；

（2）根据行驶时间与单位时间的耗油量得到总耗油量的函数表达式，再求最小值的条件即可.

【小问1详解】

依题意，所选的函数必须满足两个条件：

定义域为，且在区间上单调递增.

由于模型③定义域不可能是.

而模型②在区间上是减函数.

因此，最符合实际的模型为①.

【小问2详解】

设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有.

∵，，

∴，

它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为，且，

∴当时，y有最小值.

由题设表格知，当时，，，.

∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少.

20. 已知函数(且)的图象恒过点A，且点A在函数的图象上.

（1）求的最小值；

（2）若，当时，求的值域.

【答案】（1）4；    （2）.

【解析】

【分析】(1)根据对数函数恒过定点(1，0)求出m和n的关系：，则利用转化为基本不等式求最小值；

(2)利用换元法令，将问题转化为二次函数求值域问题即可.

【小问1详解】

∵，∴函数的图象恒过点.

∵在函数图象上，∴.

∵，∴，，∴，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴的最小值为4.

【小问2详解】

当时，，

∵在上单调递增，

∴当时，，

令，则，，

在上单调递增，

∴当时，；当时，.

故所求函数的值域为.

21. 如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.

（1）当时，求的值；

（2）设，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义结合二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值；

（2）利用辅助角公式可得，结合角的取值范围可求得的取值范围.

【小问1详解】

解：由三角函数的定义，可得，

当时，，即，，

【小问2详解】

解：，，，

所以，，

，则，则，即的取值范围为.

22. 已知函数（且）.

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）函数的定义域为，且满足如下条件：存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数是“二倍函数”，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可知，对任意的，恒成立，利用参变量分离法结合指数函数的值域可求得实数的取值范围；

（2）分析可知在定义域内单调递增，由“二倍函数”的定义可知关于的二次方程有两个不等的正根，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：的定义域为，所以，恒成立，则恒成立，

，，因此，实数的取值范围为.

小问2详解】

解：当时，因为内层函数为增函数，外层函数为增函数，

故函数在定义域内单调递增，

当时，因为内层函数为减函数，外层函数为减函数，

故函数在定义域内单调递增，

若函数是“二倍函数”，

则需满足，即，

所以，、是关于的方程的两根，

设，则关于的方程有两个不等的正根，

所以，，解得，

因此，实数的取值范围是.