河南省信阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021—2022学年度高一上学期期末教学质量检测

数学试题

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题知，进而根据集合的交集运算求解即可.

【详解】解：由题知，，

所以.

故选：A

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用诱导公式化简计算即可

【详解】，

故选：B

3. 已知命题，则为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由全称命题的否定为存在命题，分析即得解

【详解】由题意，命题

由全称命题的否定为存在命题，可得：

为

故选：D

4. 已知函数的值域为，则实数m的值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 9 D. 27

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数型复合函数的性质计算可得；

【详解】解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；

故选：C

5. 若“”是“”的充分不必要条件，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】转化“”是“”的充分不必要条件为，分析即得解

【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件

故

故

故选：B

6. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然､更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横､竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得，即可得到，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】解：依题意，所以，所以

故选：B

7. 下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，逐一分析各选项中两个函数的对称性，再判断作答.

【详解】对于A，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，

而点与关于y轴对称，则与的图象关于y轴对称，A正确；

对于B，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，

而点与关于原点对称，则与的图象关于原点对称，B不正确；

对于C，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，

而点与关于x轴对称，则与的图象关于x轴对称，C不正确；

对于D，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，

而点与关于直线y=x对称，则与的图象关于直线y=x对称，D不正确.

故选：A

8. 函数的单调递增区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.

【详解】由辅助角公式,化简三角函数式

可得

由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足

解得

即单调递增区间,

故选：B

9. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.

【详解】由得：，则

故选：A

10. 设，且，则的最小值是（    ）

A.  B. 8 C.  D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】转化原式为，结合均值不等式即得解

【详解】由题意，故

则

当且仅当，即时等号成立

故选：B

11. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；

【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；

故选：C

12. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.

【详解】因为，所以函数的周期为，

当时，，即，

因为函数偶函数且周期为，

所以有，

所以在区间上零点的个数为，

故选：C

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

13. 幂函数的图象过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，代入，求解可得，再代入求解即可

【详解】由题意，设，过点

可得，解得

故

故答案为：

14. 下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

【答案】（1）（3）

【解析】

【分析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.

【详解】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求

故答案为：（1）（3）

15. ___________.

【答案】1

【解析】

【分析】由直接计算即可.

【详解】

.

故答案为：1.

16. 《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数的方程有解的问题，我们可分离出参数（调），将方程化为，根据的值域，求出的范围，继而求出的取值范围，已知，若关于x的方程有解，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】参变分离可得，令，构造函数，利用导数求解函数单调性，分析可得的值域为，即得解

【详解】由题意，，

故

又，，

令

故，令

，故在单调递增

由于时

故的值域为

故，即实数的取值范围为

故答案为：

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （1）计算：.

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；

（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；

【详解】解：（1）

（2）

18. 已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【小问1详解】

由题意，

解得，即

故

小问2详解】

由题意

即，又，故

故

19. 已知函数（，且）.

（1）求函数的定义域；

（2）是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.

（2）利用复合函数的单调性的判断可知，然后依据题意可得进行计算即可.

【小问1详解】

由题意可得，即，

因为，所以解得.

故的定义域为.

【小问2详解】

假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.

设函数，由，得，

所以在区间上为减函数且恒成立，

因为在区间上单调递减，

所以且，即.

又因为在区间上的最大值为1，

所以，

整理得，解得.

因为，所以，

所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1

20. 已知函数为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的最小值，并求取最小值时x的值.

【答案】（1）   

（2）在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.

【解析】

【分析】（1）根据函数为R上的奇函数，由求解；

（2）由（1）得到，令，转化为二次函数求解.

小问1详解】

解：因为函数为R上的奇函数，

所以，

解得，

所以，经检验满足题意；

【小问2详解】

由（1）知：，

，

另，因为t在上递增，则，

函数转化为，

当时，取得最小值-4，

此时 ，即，

解得，则，

所以在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.

21. 观察下列各等式：，，.

（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；

（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.

【答案】（1）   

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；

（2）用两角和的正弦公式展开，代入化简，结合，即得解

【小问1详解】

由题意，

【小问2详解】

根据题干中各个式子的特点，猜想等式：

证明：左边

即得证

22. 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；

（2）求三角形区域面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数表达出长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.

【小问1详解】

设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为

【小问2详解】

过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为

，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为