2022-2023学年河南省洛阳市高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市高一上学期期末数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集和补集的定义求解即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，
所以,
故选：B
2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可.
【详解】由得，，即，得，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集，
所以，由各选项可知 “”满足题意，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故选：D．
3．已知命题p：，或，则命题的否定是（ ）
A．，或B．，
C．，或D．，
【答案】D
【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】首先确定量词，排除选项A，B；
其次“或”的否定形式为,
故命题p的否定为“，”．
故选：D．
4．已知a＝，b＝c＝2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【分析】由对数式和根式的运算，确定三个数的范围再比较大小.
【详解】∵，∴；
又，
所以，∴．
故选：C．
5．若函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用根式的定义域求得集合，利用单调性的定义求的单调性进而求得集合，再根据集合交集的定义即可求解.
【详解】由解得，所以，
任取，则，，则，
所以，即，
所以在上是增函数，且，，
所以，
所以，
故选：A
6．若函数，则的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可推得在上为增函数．然后分别求解，可得，，，，即可根据零点存在定理，得出答案.
【详解】定义域为，且的图象在上是连续的.
根据对数函数的单调性可知，任意，有成立，
则，即，故在上为增函数．
又，，
，.
即，根据零点存在定理可知，的零点所在区间是.
故选：C.
7．已知，，，，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】C
【分析】利用结合均值不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，
故选：C.
8．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知可推得.又因为，所以，即可得出答案.
【详解】因为恒成立，所以的定义域为，
且.
，
所以，，
所以，.
故选：B.
【点睛】关键点睛：涉及较复杂的函数求值问题，探求给定函数的性质，再借助性质计算是解题的关键.
二、多选题
9．已知函数(是常数），，则以下结论错误的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的定义域为D．在区间上，
【答案】CD
【分析】由题知，，进而结合幂函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由得，，即，函数在定义域上单调递增，故选项A，B正确；
因为的定义域为，故选项C错误；
因为在区间上，，故选项D错误．
故选：CD．
10．已知，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知可推得，.根据基本不等式可判断B项；根据对数函数、指数函数的单调性可判断C、D项.
【详解】由已知可得，，.
对于A项，由题意知，故，故选项A正确；
对于B项，由已知可得，当且仅当时等号成立.
因为，所以，故选项B正确；
对于C项，由已知，故为上的减函数，
又，所以，故选项C错误；
对于D项，因为，，所以，，
所以，故D项正确.
故选：ABD．
11．若不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据已知条件可得，和是方程的两根，且.进而可根据两根之积，求出的值.然后根据两根之和求出.
【详解】由已知可得，和是方程的两根，且，
所以.
又，则，则．
又，则，则．
故选:BC．
12．已知函数的部分图象如图所示，有以下变换：①向左平移个单位长度；②向左平移个单位长度；③各点的横坐标变为原来的倍；④各点的横坐标变为原来的倍，则使函数的图象变为函的图象的变换次序可以是（ ）
A．③①B．④①C．①③D．②④
【答案】BD
【分析】先根据图象求得的解析式，再根据三角函数图像变换求解即可.
【详解】由图象可得，故，又，故或，
又因为，结合图象可得，所以，
将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，故，解得，故，
由可知图象变换过程中包含④，不包含③，
按的变换次序，则B正确；
按的变换次序，则D正确，
故选：BD
三、填空题
13．已知角，角终边上有一点，则______．
【答案】
【分析】由题知点在第三象限且，进而得.
【详解】解：因为，
所以，点在第三象限，
又，
所以，．
故答案为：
14．已知函数，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】由可得，再利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意得，即，
所以，
所以由均值不等式得，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
15．已知，，，则＝______．
【答案】
【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出，利用正弦差角公式求出答案.
【详解】由得，，则①，
由得，②，
联立①②解得，
∴．
故答案为：
16．若函数，则的解集为______．
【答案】
【分析】由题知为偶函数，且在区间上单调递增，进而根据单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
所以，，即为偶函数．
设，则，，，
所以，，
所以，在区间上单调递增，
所以，根据偶函数的性质，易知等价于，
所以，，解得．
所以，的解集为
故答案为：
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的根．
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，；
(2).
【分析】（1）化简可得，即可得出函数的周期.整体代入即可求出函数的单调区间；
（2）解可得，，.结合的范围，即可求出.
【详解】（1）由已知，，
故的最小正周期.
由，得，，，
故的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，.
则，即．则，，
即，.
又，所以，
故在区间上的根为．
18．已知，，．
(1)求的值；
(2)解不等式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；
（2）利用换元法令，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由可得，
代入得，
又因为，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式即为，
令得，解得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
19．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到.
（2）首先利用基本不等式即可得到，令，得到，再解不等式即可得到答案.
【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为，
所以．
（2）因为，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
解得，∴，当且仅当，时取等号，
所以温室体积，则温室体积的最大值为．
20．如图，在正方形ABCD中，M，N分别为BC，CD上的动点，其中∠MAB＝＞0，∠MAN＝＞0，∠NAD＝＞0．
(1)若M为BC的中点，DN＝DC，求
(2)求证：＋＋＝1．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得及，又，即可得；
（2）由，整理后可证明结论.
【详解】（1）由题意得，，
故，由题可得均为锐角，则.
又，则；
（2）证明：因，则，
故，
即，则，
故．
21．已知定义在R上的函数满足，.
(1)求的值；
(2)若，，求满足的的最大值．
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）令，代入即可得出；
（2）令，，代入可得，.依次求解，即可得出，，进而得出答案.
【详解】（1）令，由已知可得，解得或（舍去）.
所以，.
（2）令，，，则由已知可得，.
显然，所以.
所以，，，，，，.
所以，满足的的最大值为6.
22．已知函数，，．
(1)若对，，求的取值范围；
(2)若对，或，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；
（2）根据的取值分情况讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可得恒成立，
则即，解得，
故的取值范围为.
（2）当时，，，符合题意；
当时，由，解得或，
故当时，恒成立，而在上为减函数，故只需，而由，得，故符合题意；
当时，由，解得或，
故当时，恒成立，而在上为增函数，故只需，解得，
综上的取值范围是．