河南省平顶山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

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2021——2022学年第一学期高一期末调研考试

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．口答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简集合，进而求得集合A，B的补集，再逐项判断.

【详解】因为集合，

所以或，

因为，

所以，

所以，

故选：D

2. “是第一象限角”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.

【详解】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，

若，则一定第一象限角，必要性成立，

所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3. 已知函数的最大值与最小值的差为2，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据解析式可得其单调性，根据x的范围，可求得的最大值和最小值，根据题意，列出方程，即可求得a值.

【详解】由题意得在上为单调递增函数，

所以，，

所以，解得，

又，所以.

故选：C

4. 已知函数若，则实数的值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数分段处理的原则，求出，

代入即可求解.

【详解】由题意可知，，，

又因为，所以，解得.

故选：B.

5. 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（    ）

A. 5m B.  C.  D. 20m

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.

【详解】因为函数最小正周期是，

故 ，即 ，

解得（m）,

故选：A

6. 已知，，，则，，大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由对数的性质，分别确定的大致范围，即可得出结果.

【详解】因为，所以，，所以，

，，所以.

故选：C.

7. 定义运算，则函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据运算得到函数解析式作图判断.

【详解】，

其图象如图所示：

故选：B

8. 现在人们的环保意识越来越强，对绿色建筑材料的需求也越来越高．某甲醛检测机构对某种绿色建筑材料进行检测，一定量的该种材料在密闭的检测房间内释放的甲醛浓度（单位：）随室温（单位：℃）变化的函数关系式为（为常数）．若室温为20℃时该房间的甲醛浓度为，则室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为（取）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可知，，求出，在由题中的函数关系式即可求解.

【详解】由题意可知，，解得，

所以函数的解析式为，

所以室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为

.

故选：D.

9. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇偶性，可得在上单调递增，且，根据的奇偶性及单调性，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.

【详解】由题意得在上单调递增，且，

因为，

所以，解得，

所以不等式的解集是.

故选：A

10. 已知角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得，再根据，即可得到，从而求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用诱导公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以，所以；

故选：A

11. 已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果.

【详解】令和相等可得，即；

此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，

令底边的一个端点为，则另一个端点为，

所以，即，

当时，的最小值，最小值为

故选：C．

12. 若关于的方程有且仅有一个实根，则实数的值为（    ）

A 3或-1 B. 3 C. 3或-2 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】令，根据定义，可得的奇偶性，根据题意，可得，可求得值，分析讨论，即可得答案.

【详解】令，

则，

所以为偶函数，图象关于y轴对称，

因为原方程仅有一个实根，

所以有且仅有一个根，即，

所以，解得或-1，

当时，，，，不满足仅有一个实数根，故舍去，

当时，，当时，由复合函数的单调性知是增函数，所以，

当时，，所以，

所以仅有，满足题意，

综上：.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数定义，可求得a值，根据其单调性，即可得答案.

【详解】因为为幂函数，所以，解得或，

又在其定义域上是增函数，

所以，所以.

故答案为：

14. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是____________．

【答案】9

【解析】

【分析】根据指数的运算法则，可求得，根据基本不等式中“1”的代换，化简计算，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是9

故答案为：9

15. 将函数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图象的变换，求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】由数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，

得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数

的图象，即

令，函数的单调递增区间是

由，得，

的单调递增区间为.

故答案为：

16. 若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意显然可知，整理不等式得：，令，求出

在的范围即可求出答案.

【详解】由题意知：，即对任意的恒成立，

当，得： ，

即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，

令，在上单减，所以，所以

.

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点．

（1）求，；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义，计算即可得答案.

（2）根据诱导公式，整理化简，代入，的值，即可得答案.

【小问1详解】

因为角终边经过点，

所以，．

【小问2详解】

原式．

18. 已知函数的定义域为．

（1）求的定义域；

（2）对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）的定义域可以求出，即的定义域；

（2）令，若，使得成立，即可转化为成立，求出即可.

【小问1详解】

∵的定义域为，∴．

∴，则．

【小问2详解】

令，

，使得成立，即大于在上的最小值．

∵，

∴在上的最小值为，

∴实数的取值范围是．

19. 已知函数f（x）＝x2－ax＋2．

（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；

（2）当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；

（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．

【小问1详解】

若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]

所以，解得

【小问2详解】

由f（x）≥1－x2得对恒成立

即在区间恒成立，所以

又，当且仅当时，取等号

所以，即，故实数的取值范围为

20. 已知函数．

（1）若函数，且为偶函数，求实数的值；

（2）若，，且的值域为，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得解析式，根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案.

（2）当时，可得解析式，根据值域为R，分别求和两种情况，结合一次、二次函数的性质，即可得答案.

【小问1详解】

由题可知．

∵是偶函数，∴，

∴，

即，，

∴对一切恒成立，

∴，即．

【小问2详解】

当时，，

当时，，其值域为，满足题意；

当时，要使的值域为，则，

所以，解得．

综上所述，的取值范围为．

21. 已知函数．

（1）利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；

（2）若对任意，恒成立，求实数取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.

（2）令，根据x的范围，可得t的范围，原式等价为，，只需即可，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.

【小问1详解】

由已知可得的定义域为，

任取，且，

则，

因为，，，

所以，即，

所以在上是单调递增函数．

【小问2详解】

，

令，则当时，，

所以．

令，，

则只需．

当，即时，在上单调递增，

所以，解得，与矛盾，舍去；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得；

当即时，在上单调递减，

所以，解得，与矛盾，舍去．

综上，实数的取值范围是．

22. 已知函数的最小正周期为4，且满足．

（1）求的解析式．

（2）是否存在实数满足？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在；

【解析】

【分析】（1）因为的最小正周期为4，可求得，再根据满足，可知的图象关于点对称，结合，即可求出的值，进而求出结果；

（2）由（1）可得，再根据，在同一坐标系中作出与的大致图象，根据图像并结合的单调性，建立方程，即可求出，由此即可求出结果.

【小问1详解】

解：因为的最小正周期为4，所以．

因为满足，

所以的图象关于点对称，

所以，

所以，即，

又，所以．

所以的解析式为．

【小问2详解】

解：由，可得．

当时，，．

在同一坐标系中作出与的大致图象，如图所示，

当时，，．

再结合的单调性可知点的横坐标即方程的根，解得．

结合图象可知存在实数满足，的取值范围是．