河南省三门峡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021—2022学年上学期高一年级期末教学质量检测

数  学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用交集和补集运算即得.

【详解】因为，所以，

所以．

故选：C

2. 下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ）

A. 有些四边形的内角和不等于360° B. ，

C. ， D. 所有能被4整除的数都是偶数

【答案】D

【解析】

【分析】根据定义分析判断即可.

【详解】A和C都是存在量词命题，B是全称量词命题，但其是假命题，如时，，D选项为全称命题且为真命题．

故选：D.

3. 下列函数中，为偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；

B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；

C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；

D，因为函数定义域为：R，，所以函数为偶函数，故正确；

故选：D.

4. 若是第二象限角，是其终边上的一点，且，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦函数的定义有，结合是第二象限角求解即可.

【详解】由题设，，整理得，又是第二象限角，

所以.

故选：C

5. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题，

可得命题“，”的否定为“，”．

故选：B.

6. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过计算可知，，，从而得出，，的大小关系.

【详解】解：因为，所以，，所以.

故选：B.

7. 函数图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.

【详解】函数的定义域为，

，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；

x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.

故选：C

8. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

令，则可得，解出即可.

【详解】令，其对称轴为，

要使在上是增函数，

则应满足，解得.

故选：B.

9. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数图象的平移变换及诱导公式即可求解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到

.

故选：D.

10. 已知，且，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先对化简可得，再结合，可得，再给分子分母同除以，结合化简可求出答案

【详解】解：由，得

，

所以，

，

，

所以，，

解得或，

因为，所以，

所以，

故选：A

11. 若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由基本不等式有， 令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.

【详解】解：由题意，正实数满足，则，

令，可得，即，解得，或(舍去)，

所以当且仅当时，取得最小值2，

故选：B.

12. 函数的零点个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可．

【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3．

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数y＝xα的图象过点(4，)，则α＝__________.

【答案】

【解析】

【分析】

把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.

【详解】解：由幂函数的图象过点，

所以，

解得.

故答案为：.

14. 已知集合，，则集合中的元素个数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

解不等式确定集合，解方程确定集合，再由交集定义求得交集后可得结论．

【详解】由题意，，

∴，只有1个元素．

故答案为：1．

15. 已知函数，若，则______.

【答案】16或-2

【解析】

【分析】

讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.

【详解】当时，，成立，

当时，，成立，

所以或.

故答案为：或

16. 设，，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围．

【详解】，，所以，

所以

，

，，，．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知角的终边经过点，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）先求任意角的三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式化简，再代值计算即可，

（2）利用诱导公式化简即可

【详解】∵角的终边经过点，

∴，，．

（1）原式．

（2）原式．

18. 已知，，其中．

（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；

（2）是否存在，使得是的必要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）解不等式，由充分条件定义得出实数的取值范围；

（2）由是的必要条件得出不等关系，结合作出判断.

【小问1详解】

由得，故有．

由得，即．

若p是q的充分条件，则成立，即得.

【小问2详解】

因为，所以或．

若是q的必要条件，则成立，则或，

显然这两个不等式均与矛盾，故不存在满足条件的m．

19. 已知函数（且）的图象过点

（1）求的值.

（2）若.

（i）求的定义域并判断其奇偶性；

（ii）求的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.

【解析】

【分析】（1）由可求得实数的值；

（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；

（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.

【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；

（2）.

（i）由得，故的定义域为.

因为，故是偶函数；

（ii），

因为函数单调递增，函数在上单调递增，

故的单调递增区间为.

20. 已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）求出在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；

（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.

【详解】（1）由题意知，若，则，所以，

又因为，所以，得，所以；

（2）因为，所以，

正弦函数在区间上的单调递增区间为和，

此时即或，得或，

所以在上的递增区间为和.

21. 某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

（1）求的值；

（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？

【答案】（1）；（2）年.

【解析】

【分析】

（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值；

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案

【详解】解：设今年碳排放量为.

（1）由题意得，

所以，得.

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量，

则，

将代入得，

即，得.

故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.

22. 已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求实数，的值；

（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.

【解析】

【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.

（2）化简得到，，计算，得到是增函数.

（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.

【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，

即，所以．又由，即，

所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.

（2）在上单调递增.证明：由（1）知，

任取，则，

因为函数在上是增函数，且，所以，

又，

所以，即，

所以函数R上单调递增.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

因为在上是增函数，由上式推得，

即对一切有恒成立，设，

令，

则有，，所以，

所以，即的取值范围为.