2021-2022学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知角的终边经过点，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可得x=4，y=，由任意角的三角函数的定义可得tanα=，

故选D．

2．已知命题，，则命题p的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合题意，即可求得.

【详解】命题，的否定是：，.

故选：A.

3．下列函数中，值域为的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据选项中的函数解析式逐个判断函数的定义域和值域进行逐项排除即可.

【详解】对于A选项:由函数的定义域为知,此函数的值域为.故A排除;

对于B选项:由函数的定义域为和对数函数的图象知,此函数的值域为R.故B排除;

对于C选项:由函数的定义域为R和指数函数的图象知,此函数的值域为.故选C；

对于D选项:由函数的定义域为R和恒成立可知,此函数的值域为.故D排除;

故选:C

【点睛】本题考查基本初等函数的图象及简单性质;重点考查函数的三要素问题;熟练掌握各种类型的函数的图象特点是求解本题关键;属于基础题.

4．“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断和的包含关系即可判断它们构成的命题的关系﹒

【详解】∵或，

∴“”是“”充分不必要条件﹒

故选：B﹒

5．已知函数是奇函数，当时，，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求，再利用奇函数的性质，求值.

【详解】

是奇函数，满足，

即.

故选：D

【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型.

6．已知（，且），（，且），若，那么与在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案.

【详解】由于，而，

所以，所以.

所以在上递减，在上递减，C选项图象符合.

故选：C

7．函数的零点所在区间是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理证明零点所在的区间.

【详解】在和是单调递增函数，

， ，

，

的零点所在的区间是.

故选：C

【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本判断方法，属于简单题型.

8．我们处在一个有声世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70dB的声音的声波强度是60dB的声音的声波强度的（    ）倍

A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍

【答案】C

【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，即得．

【详解】由，可得，

所以，

同理得，

所以，

所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.

故选：C.

9．已知，，满足，且，那么下列各式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件可得，然后逐一判断即可.

【详解】因为，且，所以

所以，故A不成立

，，，故BCD成立

故选：A

10．已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的代换即可求解.

【详解】，

当且仅当，即，即时，等号成立

故当，时，取最小值.

故选：C

11．设，，，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用两角差的正弦公式，正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系、诱导公式和余弦的二倍角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求解.

【详解】，

，

，

因为在单调递增，，

所以，即，

故选：B.

12．已知函数满足是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得两个函数的图象都关于直线对称，则两个函数图象的交点也关于直线对称，据此分析可得答案.

【详解】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，

所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.

故选：B.

二、填空题

13．已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为______．

【答案】或

【分析】根据已知条件求得，解一元二次不等式求得正确答案.

【详解】由于二次函数的零点为和1，

所以，解得，

则不等式，即，

，解得或，

所以关于x的不等式的解集为或.

故答案为：或

14．已知，则______．

【答案】

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．函数，的最大值为______．

【答案】##

【分析】结合二倍角公式以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】，

令，则，

开口向下，对称轴为，

所以当时，取得最大值为，

所以当时，取得最大值.

故答案为：

16．已知函数，若对任意均有，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】先判断出为增函数，列不等式组即可解得.

【详解】根据题意，对任意均有，则为增函数，

只需或

解得：或，

故实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】函数单调性的等价结论：

（1）复合函数单调性满足同增异减；

（2）为增函数或，

为减函数或.

三、解答题

17．集合，.

（1）求，；

（2）.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念即可求解；

（2）根据集合的补集和交集的概念可直接求解.

【详解】（1）∵，

，

∴，

；

（2）∵，

，

∴或，

∴.

18．计算下列各式

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由幂的运算法则、对数的定义计算；

（2）由对数的运算法则计算．

【详解】（1）原式==；

（2）原式=

19．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位圆于、两点，已知、两点的横坐标分别为和.

（1）求、的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的值；

（2）求出、的值，利用两角和的正弦公式可求得的值.

【详解】（1）由三角函数的定义可知，，

因为为锐角，则，从而，

同理可得，因此，；

（2），，

所以，.

20．气象专家认为，气候变暖加剧了气候系统的不稳定，这是造成极端天气频发的重要原因．大量的研究证实，随着气候变暖，大气层在饱和前可容纳更多水汽，极端强降雨发生的风险越来越大．某地由于突发短时强降雨，导致该地某小区地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：m3）与时间t（单位；h）成正比，相关部门积极采取有效措施在雨水流入车库一个小时之后不再有雨水流入．此刻消防部门立即使用抽水机对该地下车库进行排水，积水量y与时间t的函数关系式为（，k为常数），如图所示．

(1)求y关于t的函数解析式；

(2)已知该地下车库的面积为2560m2，当积水深度小于等于0.05m时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时，小区居民才能进入地下车库？

【答案】(1)

(2)至少需要3个小时

【分析】（1）结合图象求得y关于t的函数解析式.

（2）根据已知条件列不等式，由此求得所需时间.

【详解】（1）由图可知，当时，，

当时，，

因为图象经过点，所以，得k=5000 ，

.

（2）令，

即，

解得，

因为消防部门从t=1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库.

21．已知的函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)最小正周期T=，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数的单调递增区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；

（2）根据题意可知m小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m的取值范围.

【详解】（1）∵

所以函数的最小正周期T=，

由，解得，

因此，函数的单调递增区间为.

（2）由题意可知，不等式有解，即，

因为，所以，

故当，即时取得最大值，且最大值.

∴即实数m的取值范围为.

22．已知函数是指数函数，且该函数的图象经过点，设函数是定义在上的奇函数．

(1)求函数、的解析式；

(2)利用函数单调性定义证明函数的单调性；

(3)若对任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据指数函数的知识求得，根据奇函数的知识求得.

（2）根据函数单调性的定义证得的单调性.

（3）根据的单调性化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】（1）设且，

过，

所以

奇函数的定义域为，

，

，此时，故符合题意.

（2）函数在上是单调递减函数．

，

设，则有，

其中，所以，

函数在上是单调递减函数；

（3）不等式恒成立，

即恒成立，

由于在上是单调递减函数，

所以恒成立，

即恒成立，

由于对任意，，当时等号成立，

所以，

所以不等式恒成立，则．