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    高中数学8.6 空间直线、平面的垂直精品课件ppt

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    这是一份高中数学8.6 空间直线、平面的垂直精品课件ppt,共27页。PPT课件主要包含了学习目标,新知学习,易错辨析,典例剖析,异面直线所成的角,反思感悟,跟踪训练,二直线与直线垂直,随堂小测,课堂小结等内容,欢迎下载使用。

    1.掌握异面直线所成的角的定义,会求两异面直线所成的角.2.掌握直线与直线垂直的定义.核心素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理
    知识点一 回顾两直线的位置关系
    1.异面直线(1)定义:不同在 的两条直线.(2)画法:
    2.两条直线的位置关系
    3.两个定理(1)基本事实4①文字语言:平行于同一条直线的两条直线 .②符号语言:直线a,b,c,a∥b,c∥b⇒ .③作用:证明空间两条直线平行.
    (2)等角定理①内容:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .②作用:证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义:平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角);规定两直线平行时夹角为0°,垂直时夹角为90°.(2)范围:两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
    知识点二 异面直线所成的角
    1.定义:已知两条异面直线a,b,经过空间 O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.空间两条直线所成角α的取值范围: .
    如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直,记作 .
    1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(  )2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关,所以求解时,可根据需要合理选择该点.(  )3.不在某个平面内的两条直线为异面直线.(  )
    例1 如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;
    解 ∵CG∥FB,∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中,EF=FB,∴∠EBF=45°,∴BE与CG所成的角为45°.
    (2)FO与BD所成的角.
    解 如图,连接FH,∵FB∥AE,FB=AE,AE∥HD,AE=HD,∴FB=HD,FB∥HD,∴四边形FBDH是平行四边形,∴BD∥FH,∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角,连接HA,AF,则△AFH是等边三角形,又O是AH的中点,∴∠HFO=30°,∴FO与BD所成的角为30°.
    求两异面直线所成角的三个步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.(2)证:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
    在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
    解 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,
    由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°,
    由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
    例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD1与DC1相交于点O,求证:AO⊥A1B.
    证明 ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴A1D1綊BC,∴四边形A1D1CB是平行四边形,∴A1B∥D1C,∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角,如图,连接AC,AD1,易证AC=AD1,又O为CD1的中点,∴AO⊥D1C,∴AO⊥A1B.
    要证明两异面直线垂直,应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角,即得到两直线垂直.
    如图,在正三棱柱ABC-A′B′C′中,E为棱AC的中点,AB=BB′=2.求证:BE⊥AC′.
    证明 如图,取CC′的中点F,连接EF,BF,∵E为AC的中点,F为CC′的中点,∴EF∥AC′,∴BE和EF所成角为∠BEF,
    在正三棱柱ABC-A′B′C′中,
    在△BEF中BE2+EF2=BF2,
    ∴BE⊥EF,即BE⊥AC′.
    1.垂直于同一条直线的两条直线一定A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能
    2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且异面的直线有A.1条 B.2条C.3条 D.4条
    B解析 和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.
    3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是
    A.90° B.60° C.45° D.30°
    A解析 如图,连接B1G,∵A1E∥B1G,∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角.连接FB1,在△FB1G中,
    B1F2=B1G2+FG2.
    ∴∠FGB1=90°,
    即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
    4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为______.
    解析 依题意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
    5.在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为________.
    解析 如图所示,连接BC1,AD1,∵MN∥BC1∥AD1,∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角,连接CD1.∵△ACD1是等边三角形,∴∠D1AC=60°.即异面直线AC和MN所成的角为60°.
    1.知识清单:(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
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