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    人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课前预习ppt课件

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课前预习ppt课件,共19页。PPT课件主要包含了新知导入,新知讲解,不成立反例如图,课堂小验,异面直线夹角,异面直线夹角求法,课堂总结等内容,欢迎下载使用。

    前面我们认识了空间直线的平行关系,那么空间中的垂直又是什么样的呢?
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    探究:如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中,直线A’C’与直线AB,直线A’D’与直线AB都是异面直线,直线A’C’与A’D’相对于直线AB的位置关系相同吗?
    异面直线夹角:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a,b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角(或夹角)
    如果两条异面直线夹角为90°,那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°
    想一想:在平面几何中,垂直于同一直线的两直线互相平行,在空间中这个结论还成立吗?
    练习一1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同.( )2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
    注意: 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.2.当直线a与b所成角是0°时,两直线平行,即共面.
    例一:如图,已知正方体ABCD-A’B’C’D’(1)哪些棱所在直线与直线AA’垂直?(2)求直线BA’与CC’所成角的大小(3)求直线BA’与AC所成角的大小
    解(1)棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。(2)因为ABCD-A’B’C’D’是正方体,所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°,所以直线BA’与CC’所成角等于45°。
    (3)如图,连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体,所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形,所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形,所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。
    求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角:求角度,常利用三角形.(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
    例二:如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中,O’为底面A’B’C’D’的中心,求证:AO’⊥BD
    证明:如图,连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四边形BB’DD’是平行四边形∴B’D’//BD∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角连接AB’,AD’易证AB’=AD’又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD
    例三如图所示,四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.
    解:取BC中点O,连接OE,OF,如图。∵E,F分别是AB,CD的中点,∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角∵BD,AC所成角为60°,∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,∴OE=OF=1当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=
    练习二如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中AB与CD的位置关系为( )A.相交B.平行C.既不相交,也不平行D.不能确定
    解:由题,则正方体的直观图如图所示,易知, AB与CD既不平行,也不相交,故选:C
    练习三四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为_______
    解:画出图如图所示,将AP平移到BE的位置,连接DE,则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形,故两条异面直线所成的角为60° 。
    利用勾股定理证直线与直线垂直在棱长为4的正四面体ABCD中,求异面直线AB和CD所成的角
    解:取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角MF=ME=2,EF=∴MF²+ME²=EF²∴∠EMF=90°∴异面直线AB和CD的夹角是90°。
    练习四如图,在正方体中,N,M,P分别是A1B1 ,CC1,AD的中点,则异面直线D1N 与MP所成角的大小是( )A 90° B 60° C 45° D 30°
    解:取BB1中点K,连接A1K,则A1K//D1N,取B1K的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ//A1K,所以MQ//D1N,所以∠PMQ即为所求夹角。如图,设正方体棱长为4,由勾股定理易知,PQ²=PB²+BQ²=29,PM²=24,MQ²=5,所以PQ²=PM²+MQ²,所以∠PMQ=90°。
    一、已知长方体ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1则异面直线A1B1 与AC1所 成 角 的 余 弦 值 为________
    二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’与AA’的中点,平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与C’M所成角的大小为______
    三、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,直线AC’与B’D’的夹角是多少?
    解:连接A’C’与B’D’交于点E,取AA’中点F,连接EF,FE’.在△AA’C’中,EF//AC’∴∠FED’即为异面直线AC’和B’D’所成的角或其补角,设正方体棱长为a,则EF=1/2AC’= ,ED’= ,FD’= ∴EF²+ED’²=FD’²,∴∠FED’=90°∴直线AC’和B’D’的夹角是90°
    2,空间中直线垂直关系
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