专题13 一元一次不等式（组）及其应用（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）

专题13 一元一次不等式（组）及其应用

1.能够根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），体会不等式（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2.会解一元一次不等式（组）。

3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

一、不等式的基本性质

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果，那么

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，那么（或

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果那么（或）

例1．下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

根据一元一次不等式的定义：形如或或或（其中a是不等于0的常数，b为常数），由此进行判断即可．

【详解】

解：（1）即是一元一次不等式；（2）是二元二次整式，不是不等式；（3）是二元一次不等式（4）不是一元一次不等式；（5）是一元一次不等式 ；（6）不是一元一次不等式，

故选B．

二、一元一次不等式

1、定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．

2、解一元一次不等式的步骤

解一元一次不等式的一般步骤：  (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．   

3、一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

4、一元一次不等式的应用

列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．

例2．不等式x+4＜0的一个解是（　　）

A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．1

【答案】A

【分析】

求一元一次不等式的解集，再根据题意分析即可求得答案．

【详解】

，

解得，

四个选项中只有，

故选A．

三、一元一次不等式组

1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

2．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

3．列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．

例3．如图，不等式组的解集在数轴表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先求出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．

【详解】

解：

解不等式组得：，

在数轴上表示为：

故选：A．

1．（2022·靖江市靖城中学九年级一模）若，则下列各式中一定成立的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用在不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变，判定利用在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，判定利用在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，判定 从而可得答案.

【详解】

解：，

故符合题意；不符合题意；

，

故不符合题意；

故选：

2．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）不等式组的整数解的个数是（      ）

A．0个 B．2个 C．4个 D．6个

【答案】C

【分析】

先求得不等式组的解集，然后再判断整数解的个数．

【详解】

解：

解不等式得

解不等式得

∴不等式组的解集为，整数解有，总共4个，

故选C

3．（2022·杭州市采荷中学九年级二模）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据不等式的基本性质逐一判断即可．

【详解】

解：若a＞2b＞0，

A．不妨设a=0.3，b=0.1，

则a-1＜b，故本选项不符合题意；

B．不妨设a=3，b=1，

则b+1＜a，故本选项不符合题意；

C．∵a＞2b＞0，

∴a+1＞2b+1，

∴a+1＞b+1，

∴a+1＞b-1，故本选项符合题意；

D．不妨设a=3，b=1，

则a-1=b+1，故本选项不符合题意；

故选：C．

4．（2022·无锡市天一实验学校九年级月考）如果，那么下列不等式正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．

【详解】

解：A．∵x＜y，∴，故本选项符合题意；
B．∵x＜y，∴-x＞-y，故本选项不符合题意；
C．∵x＜y，∴x-1＜y-1，故本选项不符合题意；
D．∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；

故选：A．

5．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（    ）

A．27分 B．29分 C．31分 D．33分

【答案】B

【分析】

首先求得第六场−−第九场的平均成绩（分）．根据她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，说明前五场该选手的得的总分最多17×5−1＝84（分）．因而可知前九场的总分不会超过68＋84．再根据她的前十场的平均成绩高于18分，即至少为18×10＋1＝181．则她的第十场的成绩至少即可求出．

【详解】

解：设她的第十场的成绩得分x（分）．

第六场−−第九场的平均成绩为（分），超过了前五场的平均成绩．

因此，前五场该选手得的总分最多17×5−1＝84（分），但是她的十场的平均成绩高于18分，

由题意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1，

解得x≥29．

故选：B．

6．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）若关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，且关于的一元二次方程始终有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数的值之和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先对关于的一元一次不等式组进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式可得关于a的不等式，进而问题可求解．

【详解】

解：由关于的一元一次不等式组可得：，

∵该不等式组有且仅有3个整数解，

∴，解得：，

∵关于的一元二次方程始终有两个不相等的实数根，

∴，

解得：，

∴综上所述：a的范围为，

∵为整数，

∴的值为3、4、5，

∴3+4+5=12；

故选C．

7．（2022·福建三明一中九年级开学考试）不等式5（x﹣1）＜3x+1正整数解是__________．

【答案】1，2，3

【分析】

先去括号，再移项，合并同类项，化系数为1即可．

【详解】

解：去括号得，5x-5≤3x+1，

移项得，5x-3x≤1+5，

合并同类项得，2x≤6，

系数化为1得，x≤3．

正整数解为1，2，3，

故答案为：1，2，3．

8．（2022·陕西西安·交大附中分校九年级模拟预测）不等式组的解集为 _________．

【答案】﹣1≤x＜2

【分析】

分别求出两个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分即可．

【详解】

，

解不等式①得：x≥﹣1，

解不等式②得：x＜2，

则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，

故答案为：﹣1≤x＜2．

9．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】3＜x≤4，数轴见解析

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．

【详解】

解：，

解不等式①得：x＞3，

解不等式②得：x≤4，

则不等式组的解集为3＜x≤4，

在数轴表示如下：

10．（2022·沙坪坝·重庆八中）为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．

（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？

（2）后来，学校决定就以112000元的总资金按照（1）中消毒液的最大数量进行购买但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了瓶，医用酒精多订购了原计划的，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求的值．

【答案】（1）3000瓶；（2）60

【分析】

（1）设原计划购买消毒液瓶，则原计划购买医用酒精瓶，根据学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

（2）根据最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精瓶，

依题意，得：，

解得：．

答：原计划最多购买消毒液3000瓶．

（2）依题意，得：，

令，则，

∴，

整理得：，

解得：或，

∴或，

∵，

∴，

答：a的值为60．