专题10 分式方程及其应用（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题10 分式方程及其应用

1、了解分式方程的概念。

2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。

一、分式方程的定义

分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．

注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.

二、分式方程的解法

去分母法，换元法．

例1、解分式方程：=﹣．

【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.

【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得

x+1=3(2x-1)-2(2x+1)

x+1=2x-5，

解得x=6．

检验：x=6是原方程的根．

故原方程的解为：x=6．

三、解分式方程的一般步骤
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.

口诀：“一化二解三检验”.

例2、解分式方程：．

【答案】方程两边同乘以，得

     ． 

   　．

               ． 

经检验：是原方程的解，所以原方程的解是． 

注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．

四、解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？

【要点诠释】

方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．

注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．

1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km，列出方程即可．

【详解】

解：原计划每天修建道路m，则实际用了（x﹣2）天，每天修建道路为m，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km得，．

故选：B．

2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．

【详解】

解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，

∴甲队的工作效率为

设乙队单独完成此项工程需要x小时，

∴甲队的工作效率为

由题意可得，，

故选：C．

3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程＝1的解是（    ）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3

【答案】A

【分析】

观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．

【详解】

解：＝1，

去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：

（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），

x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，

x＝1，

经检验，x＝1是原分式方程的解．

故选：A．

4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程 所表达的等量关系是（     ）

A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等

B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km

C．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v h

D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km

【答案】B

【分析】

根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，

【详解】

解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km

∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，

∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间

∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，

故选B.

5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）

A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2

【答案】B

【分析】

解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.

【详解】

解：

方程两边同时乘以得：，

∴，

∵分式方程有解，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选B.

6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是，袋中白球共有（   ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【分析】

设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程，解之可得．

【详解】

设白球有x个，

由题意得：，

解得x=5．

经检验，x=5是方程的解，

故答案为：C．

7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程的解是______．

【答案】

【分析】

方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．

【详解】

解：，
方程两边同乘，得，

去括号，得
移项得：，

经检验，是原方程的解，
故答案为：．

8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m＝___．

【答案】0

【分析】

先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x，代入求值即可；

【详解】

﹣2＝，

，

，

∴，

∵方程有增根，

∴，

∴或，

当时，，不存在；

当时，，解得；

故答案是0．

9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？

（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元

【分析】

（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；

（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．

【详解】

解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，

依题意得：，

解得：x=150，

经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，

∴x+10=160．

答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．

（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，

依题意得：，

解得：80≤m≤84，

又∵m为整数，

∴m可以为80，81，82，83，84，

∴共有5种进货方案，

方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；

方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；

方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；

方案4：购进83件A型商品，77件B型商品；

方案5：购进84件A型商品，76件B型商品．

（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；

方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；

方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；

方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；

方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．

∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，

∴购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．

10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），；（2）无解．

【分析】

（1）利用配方法解一元二次方程即可；

（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．

【详解】

解：（1），

，

，

，；

（2）去分母得，，

解得，

检验：当时，，

∴是方程的增根，

所以，原分式方程无解．