专题10 分式方程及其应用（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题10 分式方程及其应用

一、单选题

1．（2022·浙江九年级期末）随着电影《你好，李焕美》的热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“进价购进成本购进数量”、“用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同”建立方程即可．

【详解】

解：设该书店第一次购进套，则第二次购进套，

则可列方程为：，

故选：A．

2．（2022·湖北襄阳·）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别找到当前和原计划每小时的产量，根据时间相等列方程

【详解】

设原计划平均每天生产台机器，则现在每小时生产台机器；

根据现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，有：

故选A

3．（2022·内蒙古呼伦贝尔·）若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ）

A．3 B．0 C． D．0或3

【答案】C

【分析】

直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．

【详解】

解：，

去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），

解得：x＝，

当时，方程无解，

解得．

故选：C．

4．（2022·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：；

故选D．

5．（2022·广西百色·）方程＝的解是（    ）．

A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3

【答案】D

【分析】

根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．

【详解】

∵＝

∴

∴

经检验，当时，与均不等于0

∴方程＝的解是：x＝3

故选：D．

6．（2022·海南海口·）分式方程的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先将分式方程化为一元一次方程，求出方程的解再检验即可．

【详解】

解：，

，

解得，

经检验是原方程的解，

∴原方程的解为，

故选D．

7．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）

A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2

【答案】A

【分析】

首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x-1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【详解】

解：去分母，得：x-3=m，

由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，

把x=1代入整式方程，可得：m=-2．

故选：A．

8．（2022·江苏九年级月考）某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间原计划生产350台机器所需时间．

【详解】

解：设现在每天生产台机器，则原计划每天生产台机器．

依题意得：，

故选：A．

9．（2022·广州市第三中学九年级三模）甲、乙两个工程队修路，已知甲队每天比乙队少修路12米，现在甲队修路400米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等．设甲队每天修路x米，下列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队修路400米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米，

依题意得：，

故选：D．

10．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级二模）方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

观察可得最简公分母为，去分母化为整式方程，求解并检验即可．

【详解】

解：

方程两边同乘以，去分母得，

解得，

经检验，是原方程的根，

故选：B．

二、填空题

11．（2022·湖北九年级二模）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花元购买到的衣服件数比现在少件，设原价是元，则根据题意可列出方程______．

【答案】

【分析】

设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，利用数量=总价÷单价，结合平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，

依题意得：，

故答案为：．

12．（2022·西安·陕西师大附中九年级开学考试）若关于的分式方程无解，则的值是________．

【答案】

【分析】

分式方程无解，即有增根，此时，解分式方程得，令得解．

【详解】

解：将变形为：

即：

方程两边同时乘以得：

去括号得：

移项得：

合并同类项得：

解得：

∵分式方程无解

∴，即

∴

∴

故答案为：

13．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________．

【答案】+=18

【分析】

根据题意，分别列出采用新技术前和采用新技术后所用时间，相加等于18即可．

【详解】

根据题意，采用新技术前所用时间为：天，

采用新技术后所用时间为：天，

所列方程为：+=18，

故答案为：+=18．

14．（2022·湖南长沙·明德华兴中学九年级开学考试）分式方程的解是__________．

【答案】

【分析】

方程两边同乘以公因式，将分式方程转化为整式方程，解此整式方程，再验根即可．

【详解】

解：方程两边同乘以得，

经检验，是原方程的根，

故答案为：．

15．（2022·四川省内江市第六中学九年级三模）从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+(3﹣a)x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有________个．

【答案】2

【分析】

根据关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，可得抛物线对称轴小于﹣1，根据关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，可得x＞0，解得a＞﹣3，进而可得a的取值范围即可得结论．

【详解】

解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，

∴抛物线对称轴方程x＝，

即＜﹣1，

解得a＜1，

∵关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，

∴x＞0，

解分式方程，得x＝-2a+6，

∴-2a+6＞0，

解得a＜3，

∴a＜1，

∵从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，

∴符合条件的a共有2个，为﹣2，0．

故答案为2．

三、解答题

16．（2022·吉林省第二实验学校九年级月考）为庆祝中国共产党成立100周年，扬州漆器厂接到制作 1800 件漆器纪念贺礼订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前15天完成任务．原来每天制作多少件？

【答案】原来每天制作40件

【分析】

设原来每天制作x件，则实际每天制作（1+50%）x件，然后根据题意列出方程求解即可得到答案.

【详解】

解：设原来每天制作x件，则实际每天制作（1+50%）x件，

由题意得：，

解得，

经检验是原方程的解 ，

∴原来每天制作40件，

答：原来每天制作40件.

17．（2022·北京市第十二中学九年级月考）解方程：．

【答案】x＝﹣1

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，

去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，

解得：x＝﹣1，

经检验x＝﹣1是分式方程的解．

18．（2022·湖北）解方程：

【答案】无解

【分析】

方程的两边同时乘，转化为整式方程，求整式方程的解，最后检验整式方程的解即可．

【详解】

解：两边同时乘以得：

化简得，解得

检验：将代入得

所以是原方程的增根，即原方程无解．

19．（2022·陕西西安·交大附中分校九年级模拟预测）解分式方程：．

【答案】无解

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：去分母得：1-x=-1-2x+4，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

20．（2022·哈尔滨市第四十七中学）某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30支．

（1）求两次购进的铅笔每支进价分别是多少元；

（2）若商店以第二次进价提高40%作为两次购进铅笔统一售价，按此同一售价销售部分铅笔后，又以八折销售完其余的铅笔，要使全部销售完后获利不低于592元，求至少销售多少支铅笔后开始打八折？

【答案】（1）4元，5元．（2）200

【分析】

（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为1.25x元，根据题意可列出分式方程解答；

（2）设销售y支铅笔后开始打八折，求出利润表达式，然后列不等式解答．

【详解】

解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，

根据题意列方程得，，

解得x＝4，

经检验：x＝4是原分式方程的解．则第二次每支铅笔的进价为4×1.25＝5(元)，

答：第一次每支铅笔的进价为4元，第二次每支铅笔的进价为5元．

（2）铅笔统一售价为5×（1+40%）=7（元），

设销售y支铅笔后开始打八折，根据题意列不等式为：

，

解得y≥200．

答：至少销售200支铅笔后开始打八折．

21．（2022·湖南九年级期中）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．

（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

【答案】（1）A型口罩的单价为3元，则B型口罩的单价为1.8元；（2）增加购买A型口罩的数量最多是600个

【分析】（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，，根据用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同，可得关于x的分式方程，解方程并检验后即得结果；

（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，则购买B型口罩的数量是2a个，根据a个A型口罩的费用与2a个B型口罩的费用之和不超过3960元可得关于a的不等式，求出不等式的解集后结合实际情况即得结果．

【详解】

解：（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，

根据题意，得：．

解方程，得：x＝1.8．

经检验：x＝1.8是原方程的根，且符合题意．

所以x+1.2＝3．

答：A型口罩的单价为3元，则B型口罩的单价为1.8元；

（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，则购买B型口罩的数量是2a个．

根据题意，得：3a+1.8×2a≤3960．

解不等式，得：a≤600．

答：增加购买A型口罩的数量最多是600个．

22．（2022·哈尔滨德强学校九年级开学考试）某五金商店准备从一机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少元，且用元购进甲种零件的数量与用元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还少个，购进两种零件的总金额不超过元，则五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件多少个？

【答案】（1）每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元；（2）五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个．

【分析】（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元，根据“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”列出方程．

（2）设购进甲种零件个，则购进乙种零件个．根据“购进两种零件的总金额不超过元”列出不等式，进而求得，由此可得答案．

【详解】

解：（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元．

由题意得：．

解得：．

检验：当时，，

是原分式方程的解，

每个甲种零件进价为：，

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

（2）设购进甲种零件个，则购进乙种零件个．

由题意得：，

解得：，

的最大整数值为53，

答：五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个．

23．（2022·哈尔滨市萧红中学九年级三模）某服装店老板到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多25元，若用2000元购进种服装的数量是用750元购进种服装数量的2倍．

（1）求品牌服装每套进价为多少元？

（2）若品牌服装每套售价为140元，品牌服装每套售价为105元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的2倍还少10套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过2000元，则最少购进品牌的服装多少套？

【答案】（1）每套品牌服装100元；（2）至少购进品牌的服装24套

【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为元，则B品牌服装每套进价为（-25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；

（2）首先设购进A品牌的服装套，则购进B品牌服装套，根据“两种服装全部售出后，要使总的获利超过2000元”可得不等式，再解不等式即可．

【详解】

（1）设品牌服装每套进价为元，

，

解分式方程得：，

检验：当时，．

所以，是原分式方程的解．

答：每套品牌服装100元．

（2）设购进品牌的服装套，B品牌的进价：元，

，

解不等式得：，

∵为整数，

∴最小取24．

答：至少购进品牌的服装24套．