专题12 韦达定理及其应用（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题12 韦达定理及其应用

一、单选题

1．（2022·全国）一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（    ）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】B

2．（2022·江苏九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（    ）

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＋3＝0

C．（x＋1）2＝0 D．（x＋3）（x﹣1）＝0

【答案】D

【分析】

分别计算各选项的判别式的符号，即可判断一元二次方程根的情况．

【详解】

解：A.、x2＋3＝0，，

∴该方程没有实数根，不符合题意；

B、x2＋2x＋3＝0，，

∴该方程没有实数根，不符合题意；

C、（x＋1）2＝0，即，，

∴该方程有两个相等实数根，不符合题意；

D、（x＋3）（x﹣1）＝0，即，，

∴该方程有两个不相等实数根，符合题意；

故选：D．

3．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数由m的值确定

【答案】A

【分析】

先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．

【详解】

解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，

∴，

∴方程有两个不相等实数根．

故选A.

4．（2022·湖北九年级期中）若关于x的一元二次方程x2－x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（  ）

A．0 B．1 C．2 D．2022

【答案】A

【分析】

根据判别式的意义得到Δ=（-1）2-4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．

【详解】

解：根据题意得Δ=（-1）2-4m＞0， 解得m＜．

故选A．

5．（2022·江苏）对于方程，下列叙述正确的是（    ）

A．不论c为何值，方程均有实数根

B．方程的根是

C．当时，方程可化为或

D．当时，

【答案】C

【分析】

根据题意，需要对进行分类讨论，分别求出每一种情况的答案，即可进行判断．

【详解】

解：当时，方程没有实数根；

当时，方程有实数根，则，解得，；

当时，解得．

故选：C．

6．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）如果a、b是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A． B． C． D． ．

【答案】C

【分析】

根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系代入计算即可．

【详解】

∵a、b是方程的两个实数根

∴

∴

∴

故选C．

7．（2022·内蒙古九年级二模）设m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】

把代入可得到，再由根与系数的关系可得到，转化为，再分别代入和运算即可．

【详解】

已知一元二次方程，则．

由根与系数的关系，得．

因此．

故选A．

8．（2022·重庆市广益中学校九年级月考）方程2x2+3x-1=0的两根之和为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

据一元二次方程的根与系数的关系即可判断．

【详解】

根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是：．
故选A．

9．（2022·河北九年级期末）若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（  ）

A．－3 B．－4

C．3 D．4

【答案】C

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和．

【详解】

解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，且a＝1，b＝﹣3，

∴x1+x2＝＝3．

故选：C．

10．（2022·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个正的实数根 B．有两个负的实数根 C．两根的符号相反 D．方程没有实数根

【答案】C

【分析】

判断方程的根的情况，可由根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断根的存在，用x1+x2，x1•x2的符号判断两根的符号关系．

【详解】

解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，

∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

又∵x1•x2＝＜0，

∴方程两根的符号相反．

故选：C．

二、填空题

11．（2022·四川省内江市第六中学九年级三模）若，是方程是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________．

【答案】2028

【分析】

根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式=计算可得．

【详解】

解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
则原式= 
= 
=

=
=．
故答案为：2028．

12．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）若一元二次方程x2+6x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围为____．

【答案】m≥﹣9

【分析】

根据判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解关于m的不等式即可．

【详解】

解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，

解得m≥﹣9，

故答案为：m≥﹣9．

13．（2022·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．

【答案】k＞− 且k≠−1．

【分析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k＋1≠0且Δ＝62−4（k＋1）•（−2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【详解】

解：根据题意得k＋1≠0且Δ＝62−4（k＋1）•（−2）＞0，

解得k＞− 且k≠−1．

故答案是：k＞− 且k≠−1．

14．（2022·江苏南通田家炳中学九年级模拟预测）设，是一元二次方程的两个根，则________．

【答案】4

【分析】

由是一元二次方程的两个根，得出，再把变形为，即可求出答案．

【详解】

解：∵是一元二次方程的两个根，

∴，

∴，

∴，

故答案为：4．

15．（2022·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末）关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．

【答案】6

【分析】

设方程的另一个根是m，则利用根与系数的关系，即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，设方程的另一个根是m，则

利用根与系数的关系有：

，

解得：，

∴方程的另一个根为6．

故答案为：6．

三、解答题

16．（2022·珠海市文园中学九年级三模）已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）取，用配方法解这个一元二次方程．

【答案】（１）且；（２），．

【分析】

（1）根据有实数根，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有实数根的前提下必须满足；

（2）把代入，再解方程即可．

【详解】

解：（1）∵有实数根，

∴；

∴，

解得：，

∵，

∴，

∴的取值范围为且；

（2）把代入，得，

移项得：，

系数化为1得：，

配方得：，

解得：，

∴，．

17．（2022·全国九年级课时练习）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．

（1）求m的取值范围；

（2）若，求m的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式，求解一元一次不等式即可；

（2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可．

【详解】

解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，

∴，解得；

（2）由根与系数的关系，可得，

∵，

∴，

∴，符合题意，

∴

18．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．

【答案】（1）-2；（2）2

【分析】

（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；

（2）根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】

解：（1）根据题意得，解得，

∴m的最小整数值为；

（2）根据题意得，

∵，

∴，

∴，整理得，解得，

∵，

∴m的值为2．

19．（2022·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）设此方程的两个根分别为，若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）当时，一元二次方程有实数根，代入相关系数解题即可．

（2）将原式变形，利用根与系数的关系，代入求解即可．

【详解】

解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根

∴

即：

解得：

（2）由

∵，

∴原式可变形为：

即：

∴

即： 或

解得：

由第一问知：

所以

20．（2022·河南九年级期中）已知关于的方程．

（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；

（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．

【答案】（1），方程的另一根为；（2）见解析．

【分析】

（1）把已知的根代入方程中，得关于k的方程，解方程即可求得k的值，再由根与系数的关系即可求得另一个根；

（2）求出关于x的方程的判别式，根据判别式的符号即可判断．

【详解】

（1）把代入方程有：，

解得．

故方程为，

设方程的另一个根是，则：，

解得．

故，方程的另一根为；

（2）关于的方程中，a=1，b=2(2－k)，c=3－6k，

，

无论取什么实数值，此方程总有实数根．

21．（2022·四川九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2，且a+3b＝2．

（1）求b的最大值；

（2）若x12＝x22，求a的值．

【答案】（1）；（2）﹣

【分析】

（1）根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，然后解不等式可得到a≥﹣，再根据a+3b＝2可得b的最大值；

（2）由x12＝x22可得到x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，讨论：当x1+x2＝0，根据根与系数的关系得到2a+1＝0，解得a＝﹣，不满足（1）中a的取值范围，舍去；当x1﹣x2＝0，根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．

【详解】

解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，

∴4a+1≥0，

∴a≥﹣，

∵a+3b＝2，

∴b＝（2﹣a）≤．

故b的最大值是；

（2）∵x12＝x22，

∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，

当x1+x2＝0，则2a+1＝0，解得a＝﹣，不满足（1）中a的取值范围，舍去；

当x1﹣x2＝0，则Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．

故a的值是﹣．

22．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．

（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？

（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

（3）设是这个方程的两个实数根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析

【分析】

（1）根据计算即可；

（2）设是这个方程的两个实数根，根据根与系数的关系和根的判别式计算即可；

（3）根据根与系数的关系判断即可；

【详解】

解：（1）方程有两个不相等的实数根时，，解得；

（2）∵设是这个方程的两个实数根，则，，

∴，解得，

又∵方程有两个实根，

∴，

解得，

∴；

（3）不存在，理由：∵，，

∴，

整理，得，解得．

又由（2）可知，m的值不存在．

23．（2022·全国九年级课前预习）不解方程，判别关于x的方程的根的情况．

【答案】方程有两个实数根．

【详解】

：，

，

，

，即，

方程有两个实数根．