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    专题09 二元一次方程(组)及其应用(讲通)-【讲通练透】中考数学一轮(全国通用)(学生版)

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    这是一份专题09 二元一次方程(组)及其应用(讲通)-【讲通练透】中考数学一轮(全国通用)(学生版),共8页。

    专题09 二元一次方程(组)及其应用

    1、能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型

    2、掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组。

    3、能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。

    一、二元一次方程

    1)二元一次方程的概念

    含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

    二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0a≠0b≠0)。

    判定二元一次方程必须同时满足三个条件:

    方程两边的代数式都是整式——整式方程;

    含有两个未知数——“二元

    含有未知数的项的次数为 1——“一次

    2)二元一次方程的解

    使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。一般情况下,一个二元一次方程有无数个解。

    1.下列方程中是二元一次方程的是(   

    A B C D

    二、二元一次方程组

    1)二元一次方程组的概念

    由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组,叫二元一次方程组。

    注意:二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起:方程可以超过两个,有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程)。

    2)二元一次方程组的解

    二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程,同时它也必须是一个数对,而不能是一个数。

    3)二元一次方程组的解法

    a.代入消元法

    代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

    通过等量代换,消去方程组中的一个未知数,使二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求得一个未知数的值,然后再求出被消去未知数的值,从而确定原方程组的解的方法。

    步骤:

    从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如 y,用另一个未知数如 x 的代数式表示出来,即写成 y = ax + b 的形式;

    ② y = ax + b 代入另一个方程中,消去 y ,得到一个关于 x 的一元一次方程;

    解这个一元一次方程,求出 x 的值;

    回代求解:把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值,从而得出方程组的解。

    b.加减消元法

    加减法是消元法的一种,也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用,也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。

    步骤:

    变换系数:把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数,使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;

    加减消元:把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;

    解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;

    回代:将求出的未知数的值代入原方程组中,求出另一个未知数的值。

    2.下列方程组为二元一次方程组的是(   

    A B C D

    3.方程组的解是(   

    A B C D

    三、二元一次方程的应用

    1、列方程组解应用题的基本思想

    列方程组解应用题是把未知转化为已知的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系。

    所列方程必须满足:

    (1) 方程两边表示的是同类量;

    (2) 同类量的单位要统一;

    (3) 方程两边的数值要相等。

    2、二元一次方程组的应用步骤

    1)审题:弄清题意及题目中的数量关系

    2)设未知数:可直接设元,也可间接设元

    3)找等量关系:根据相关公式变量等,找出题目中的等量关系

    4)列方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组

    5)解方程组:利用消元法等方法解所列的方程组

    6)检验:检验解的正确性,是否满足实际问题

    7)答话:回答题目问题

    3、常用的基本等量关系

    1.行程问题:

    (1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。

    其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程。

    (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。

    这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。

    (3)航行问题:

    船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;

    船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;

    顺水速度-逆水速度=水速。

    注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

    2.利润问题:

    (1)利润=售价-成本(进价)

    (2)利润=成本(进价)×利润率;

    (3)标价=成本(进价)×(1+利润率)

    (4)实际售价=标价×打折率;

    注意:商品利润=售价-成本中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)

    3.储蓄问题:

    (1)基本概念

    本金:顾客存入银行的钱叫做本金。

    利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。

    本息和:本金与利息的和叫做本息和。

    期数:存入银行的时间叫做期数。

    利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

    利息税:利息的税款叫做利息税。

    (2)基本关系式

    利息=本金×利率×期数

    本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)

    利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率

    税后利息=利息× (1-利息税率)

    年利率=月利率×12

    注意:当题目中涉及免税利息时,需要明晰免税利息=利息

    4.数字问题:

    解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(2n-1),偶数可表示为2n等。

    有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字

    5.其他问题:

    1)工程问题:工作效率×工作时间=工作量

    2)增长率问题:原量×(1+增长率)=增长后的量;原量×(1-减少率)=减少后的量

    3)和差倍分问题:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量

    4)几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

    5)年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的

    4.《九章算术》中记载:今有共买羊,人出五,不足四十五:人出七,余三:问人数、羊价各几何?其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,多余3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为( )

    A B

    C D

    四、涉及二元一次方程需要注意以下要点:

    (1)解实际应用问题必须写,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去

    (2)“两步,都要写清单位名称

    (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

    (4)列方程组解应用题应注意的问题:

    弄清各种题型中基本量之间的关系;

    审题时注意从文字,图表中获得有关信息;

    注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;

    正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;

    在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;

    列方程组解应用题一定要注意检验。

    12022·陕西九年级专题练习)在下列各式中,是二元一次方程的有(   ).

    A2 B3 C4 D5

    22022·江苏苏州市振华中学校九年级月考)已知a + b的值是(  

    A4 B5 C6 D7

    32022·辽宁锦州·中考真题)二元一次方程组的解是(   

    A B C D

    42022·黑龙江九年级三模)若一次购买单价分别为7元、5元的两款笔记本共用了54元,则7元笔记本最少买(   

    A2 B3 C4 D7

    52022·浙江)已知关于xy的方程x2m-n-2+ym+n+16是二元一次方程,则mn的值为(   

    Am1n﹣1 Bm﹣1n1

    Cmn Dmn

    62020·浙江九年级期末)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支杆子一条索,索比杆子长一托,对折索子来量杆,却比杆子短一托.1托为5尺,则杆子、索长分别为____尺(  )

    A1520 B2015 C7.512.5 D12.57.5

    72022·海南)为了防治新型冠状病毒,我市某小区准备用3400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户.若医用口罩买800个,洗手液买120瓶,则钱还缺200元;若医用口罩买1200个,洗手液买80瓶,则钱恰好用完.求医用口罩和洗手液的单价.

    82022·海南海口·为推广海南各县市名优农产品,省政府组织创办了海南冬交会,顾客在海南冬交会发现,如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶,共需元;如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶共需元,问每盒兴隆咖啡和每盒白沙绿茶分别需要多少元?

    92022·沈阳市第四十三中学九年级月考)某班对周考进步的同学进行表彰,若购买甲种笔记本15个,乙种笔记本20个,需花费250元;若购买甲种笔记本10个,乙种笔记本25个,需花费225元.

    1)求甲、乙两种笔记本的单价;

    2)如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个,并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元,求至多购买多少个甲种笔记本?

    102022·海南九年级期中)刘老师和他的朋友一起共42人去公园划船,共租了10条船,每条大船坐6人,每条小船坐4人,每条船恰好都坐满且不超员,问大船、小船各租了几条?

     

     


     

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