专题12 韦达定理及其应用（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（学生版）

专题12 韦达定理及其应用

1、会运用根与系数关系解题。

2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。

一、根的判别式

1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．

注：一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实

2、一元二次方程的判别式：，

（1）当时，方程有两个不相等的实数根，；

（2）当时，方程有两个相等的实数根，；

（3）当时，方程无实数解。

3、一元二次方程根与系数关系的推导：

对于一元二次方程其中，设其根为，由求根公式，有，

4、常见的形式：

（1）

例1．一元二次方程的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

二、韦达定理

如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．

例2．设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：

（1）________，________；

（2）；

（3）；

（4）．

1．（2022·兰州市外国语学校九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （    ）

A．m≥2 B．m<2 C．m≥0 D．m<0

2．（2022·全国九年级课时练习）若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（    ）

A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定

4．（2022·全国九年级课时练习）已知一元二次方程的两根为，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

5．（2022·全国九年级课时练习）设是一元二次方程的两根，则（    ）

A． B．2 C．3 D．

6．（2022·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

7．（2020·广州市第七中学九年级期中）若关于x的方程的两根为和4，则____________．

8．（2022·广东九年级期末）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的面积为___________．

9．（2022·全国九年级课时练习）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

（1）；     

（2）；

（3）；   

（4）．

10．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．