专题09 二元一次方程（组）及其应用（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题09 二元一次方程（组）及其应用

1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型

2、掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。

3、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

一、二元一次方程

（1）二元一次方程的概念

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。

判定二元一次方程必须同时满足三个条件：

①方程两边的代数式都是整式——整式方程；

②含有两个未知数——“二元”；

③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。

（2）二元一次方程的解

使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

例1．下列方程中是二元一次方程的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．

【详解】

A.只含有一个未知数，故不是二元一次方程；

B.是二元一次方程

C.的分母含未知数，故不是二元一次方程

D.含有二次项，故不是二元一次方程

故选B．

二、二元一次方程组

（1）二元一次方程组的概念

由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。

（2）二元一次方程组的解

二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。

（3）二元一次方程组的解法

a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。

步骤：

①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；

② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出 x 的值；

④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

b.加减消元法

加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法。

步骤：

①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。

例2．下列方程组为二元一次方程组的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程判断即可；

【详解】

中，xy的次数是2，故A不符合题意；

是二元一次方程组，故B符合题意；

中y在分母上，故C不符合题意；

中有3个未知数，故D不符合题意；

故选B．

例3．方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据加减消元法即可求解．

【详解】

解

②-①得x=2

把x=2代入①得y=3

∴方程组的解为

故选A．

三、二元一次方程的应用

1、列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。

所列方程必须满足：

(1) 方程两边表示的是同类量；

(2) 同类量的单位要统一；

(3) 方程两边的数值要相等。

2、二元一次方程组的应用步骤

（1）审题：弄清题意及题目中的数量关系

（2）设未知数：可直接设元，也可间接设元

（3）找等量关系：根据相关公式变量等，找出题目中的等量关系

（4）列方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组

（5）解方程组：利用消元法等方法解所列的方程组

（6）检验：检验解的正确性，是否满足实际问题

（7）答话：回答题目问题

3、常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。

(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；

(2)利润＝成本（进价）×利润率；

(3)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；

(4)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

3.储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率

④税后利息＝利息× (1－利息税率)

⑤年利率＝月利率×12

注意：当题目中涉及免税利息时，需要明晰免税利息=利息

4.数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。

有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

5.其他问题：

（1）工程问题：工作效率×工作时间=工作量

（2）增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量

（3）和差倍分问题：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量

（4）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

（5）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

例4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，余三：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

解：设合伙人数为人．羊价为元，

依题意，得：．

故选：B．

四、涉及二元一次方程需要注意以下要点：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

(4)列方程组解应用题应注意的问题：

①弄清各种题型中基本量之间的关系；

②审题时注意从文字，图表中获得有关信息；

③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；

④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；

⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；

⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

1．（2022·陕西九年级专题练习）在下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是二元一次方程的有（   ）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【分析】

根据二元一次方程的定义逐项判断，即可求解．

【详解】

解：是二元一次方程的是⑤和⑦

①，不是方程，不合题意；②，是二元二次方程，不合题意；③，是一元一次方程，不合题意；④，是分式方程，不合题意；⑤，是二元一次方程，符合题意；⑥，化简后只有一个未知数，是一元一次方程，不合题意；⑦，化简后是二元一次方程，符合题意，

∴是二元一次方程的是⑤和⑦．

故选：A

2．（2022·江苏苏州市振华中学校九年级月考）已知则a + b的值是（   ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】

两方程相加即可求得结果．

【详解】

解：，

①②得，，

所以，，

故选：B．

3．（2022·辽宁锦州·中考真题）二元一次方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

方程组利用代入消元法求出解即可．

【详解】

解：，

把②代入①得：4y＋y＝10，

解得：y＝2，

把y＝2代入②得：x＝4，

则方程组的解集为．

故选：C．

4．（2022·黑龙江九年级三模）若一次购买单价分别为7元、5元的两款笔记本共用了54元，则7元笔记本最少买（    ）

A．2本 B．3本 C．4本 D．7本

【答案】A

【分析】

设7元、5元的两款笔记分别购买了x，y本，根据等量关系，列出二元一次方程，即可得到答案．

【详解】

解：设7元、5元的两款笔记分别购买了x，y本，

由题意得：7x+5y=54，

∵x，y为正整数，

∴，，

∴7元笔记本最少买2本，

故选A．

5．（2022·浙江）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（    ）

A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1

C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝

【答案】A

【分析】

直接利用二元一次方程的定义得出关于m，n的方程组求出答案．

【详解】

∵关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，

∴，

解得．

故选：A．

6．（2020·浙江九年级期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支杆子一条索，索比杆子长一托，对折索子来量杆，却比杆子短一托．”若1托为5尺，则杆子、索长分别为____尺（　　）

A．15，20 B．20，15 C．7.5，12.5 D．12.5，7.5

【答案】A

【分析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设索长为x尺，竿子长为y尺，

根据题意得：

，

解得：．

答：索长为20尺，竿子长为15尺．

故选：A

7．（2022·海南）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用3400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．求医用口罩和洗手液的单价．

【答案】医用口罩的单价为1.5 元/个，洗手液的单价为20元/瓶．

【分析】

设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可．

【详解】

（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，

根据题意得：，

解得：，

答：医用口罩的单价为1.5 元/个，洗手液的单价为20元/瓶．

8．（2022·海南海口·）为推广海南各县市名优农产品，省政府组织创办了“海南冬交会”，顾客在“海南冬交会”发现，如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶，共需元；如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶共需元，问每盒兴隆咖啡和每盒白沙绿茶分别需要多少元？

【答案】每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元

【分析】

设每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元，然后根据等量关系列出方程进行求解即可得到答案.

【详解】

解：设每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元，

根据题意得：

把② ×6-①得，解得

把代入② 中解得

∴方程组的解为

∴每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元．

答：每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元．

9．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）某班对周考进步的同学进行表彰，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，需花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，需花费225元．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价；

（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？

【答案】（1）购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）至多需要购买25个甲种笔记本

【分析】

（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．列出方程组，可求解；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．

【详解】

解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，

由题意可得：，

解得：，

答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，

由题意可得：10a+5（35-a）≤300，

解得：a≤25，

答：至多需要购买25个甲种笔记本．

10．（2022·海南九年级期中）刘老师和他的朋友一起共42人去公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，每条船恰好都坐满且不超员，问大船、小船各租了几条？

【答案】大船租了1条，小船租了9条．

【分析】

设大船租了条，小船租了条，根据总人数42人，总船只10条列出方程组，进而求解即可．

【详解】

解：设大船租了条，小船租了条．

依题意，得：，

解得：，

答：大船租了1条，小船租了9条．