第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷

一、单选题

1．若，，且，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由基本不等式，求得，进而逐项判定，即可求解.

【详解】

由，，且，可得，

当且仅当时，等号成立，

对于A中，由，所以A错误；

对于B中，，所以B错误；

对于C中，由，可得，所以C错误；

对于D中，，所以，

所以，所以D正确.

故选：D.

2．“”是“”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】

解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：B

3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（       ）年时，其营运的年平均利润最大.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.

【详解】

根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，

设二次函数的解析式为，

所以，解得，即，

因为，

所以，

当且仅当，即时取等号.

故选：C

4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（       ）

A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}

C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}

【答案】B

【解析】

【分析】

不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．

【详解】

不等式变形为，方程的两根为，显然由得，

所以不等式的解为．

故选：B．

5．若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

考虑和两种情况，得到，解得答案.

【详解】

当时，，即，成立；

当时，需满足：，解得.

综上所述：.

故选：C

6．若，则的最大值是（             ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式求解.

【详解】

因为，当且仅当，即时成立，

所以的最大值是1，

故选：C.

7．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（       ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.

【详解】

由已知可得－2，3是方程的两根，

则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确；

对于B，化简为，解得，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，化简为：，解得，D错误．

故选：D.

8．已知集合，对于任意的，使不等式恒成立的x的取值范围为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式求出集合，原不等式可转化为对恒成立，由或即可求解.

【详解】

由，得，所以，

由不等式对于任意的恒成立，

即不等式对于任意的恒成立，

所以即不等式对恒成立，

所以只需或对于任意的恒成立，

只需或对于任意的恒成立.

因为，所以只需或，

故选：B.

二、多选题

9．已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有（       ）

A．2ab B．a2＋b2 C．＋ D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒

【详解】

∵a，b＞0，∴2＝a＋b≥，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

由ab≤1，得2ab≤2，∴2ab的最大值为2，A错误；

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；

≥2，C正确；

≥2，D正确．

故选：BCD．

10．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可判断.

【详解】

因为，且，所以，，故，A正确．

当时，，B错误．

，，C正确．

，，D正确．

故选：ACD.

11．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（       ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为或

C．当时，不等式的解集为

D．当时，不等式的解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

【详解】

A：，则，可得解集为，正确；

B：，则，可得解集为或，正确；

C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误；

D：由C知：，即，此时无解，正确.

故选：ABD

12．设，则当取最小值时，下列说法正确的是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

将原式整理为，根据基本不等式和二次函数的性质可得选项.

【详解】

因为，所以

原式

当且仅当，即，，时，等号成立，此时，

故选：AC．

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，属于中档题.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

13．不等式的解集是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.

【详解】

原不等式等价于，化简得，又等价于，

解得：，

故答案为：.

14．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】

函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案

【详解】

函数的定义域为，等价于恒成立，

当时，显然成立；

当时，由，得．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：

15．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.

【详解】

第一次操作后，利下的纯药液为，

第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：

，

因为，所以，

故答案为：

16．已知，，满足，存在实数m，对于任意x，y，使得恒成立，则的最大值为____________.

【答案】2

【解析】

【分析】

首先根据题意得到，从而得到，即，再根据恒成立，即可得到的最大值.

【详解】

因为，，

所以，

所以.

即，

，解得.

因为恒成立，所以，即.

所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.

四、解答题

17．（1）设，试比较与的大小；

（2）已知，，求的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）通过作差化简原式等价于，通过分为和两种情形得结果；

（2）将用，线性表示，结合不等式的性质即可得结果.

【详解】

（1）

．

∵，∴当时，，

，

得；

当时，，，

得．

（2）设，

则

解得，．

则．

∵，，

∴，．

∴．

即．

18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．

(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；

(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．

【答案】(1)a＝﹣1，b＝2

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；

（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

(1)

由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，

所以，解得a＝﹣1，b＝2；

(2)

当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，

即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，

当即时，解集为；

当即时，解集为或；

当即时，解集为或.

19．（1）已知，求证：>．

（2）已知，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）由条件可得，，然后可得，然后可证明；

（2）由条件可得，，，然后利用基本不等式证明即可.

【详解】

（1）∵，∴

∵，∴，又∵，∴，

∴，又，∴>

（2）因为

所以，同理

所以

(当且仅当时等号成立)

20．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

【解析】

（1）依题意得到的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；

【详解】

解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；

所以收益，

（2）由（1）可知，

其中，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

21．设有一元二次方程．试问：

为何值时，有一根大于、另一根小于．

为何值时，有两正根．

【答案】；．

【解析】

【分析】

设一元二次方程的两个根分别为，，且，，利用韦达定理有

，进而求出的取值范围；

由题意得，进而求出的取值范围.

【详解】

设一元二次方程的两个根分别为，，

且，，则，，

，.

只要求，即．

则有，解得．

若，，则且，

故应满足条件，

解得．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题.

22．求解下列问题：

(1)若，且，求的最小值；

(2)若，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.

（2）因为，故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.

(1)

因为，且，所以，

则.

当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，

故当时.

(2)

因为，且，

所以，

当且仅当吋，

又，

所以当且仅当时，上式取等号，

故当时，，