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    第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版2019必修第一册)
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    第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版2019必修第一册)

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    这是一份第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版2019必修第一册),文件包含第二章一元二次函数方程和不等式单元综合测试卷解析版docx、第二章一元二次函数方程和不等式单元综合测试卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。

    第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合测试卷

    一、单选题

    1.若,且,则下列不等式恒成立的是(       

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    由基本不等式,求得,进而逐项判定,即可求解.

    【详解】

    ,且,可得

    当且仅当时,等号成立,

    对于A中,由,所以A错误;

    对于B中,,所以B错误;

    对于C中,由,可得,所以C错误;

    对于D中,,所以

    所以,所以D正确.

    故选:D.

    2的(       

    A.充要条件 B.充分不必要条件

    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

    【详解】

    解:由,得,反之不成立,如,满足,但是不满足

    的充分不必要条件.

    故选:B

    3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润(单位:10万元)与营运年数为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运(       )年时,其营运的年平均利润最大.

    A3 B4 C5 D6

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    首先根据题意得到二次函数的解析式为,再利用基本不等式求解的最大值即可.

    【详解】

    根据题意得到:抛物线的顶点为,过点,开口向下,

    设二次函数的解析式为

    所以,解得,即

    因为

    所以

    当且仅当,即时取等号.

    故选:C

    4.设mn>0,则关于x的不等式(mx)·(nx)>0的解集是(       

    A{x|x<nx>m} B{x|n<x<m}

    C{x|x<mx>n} D{x|m<x<n}

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    不等式变形为最高次项系数为正,然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集.

    【详解】

    不等式变形为,方程的两根为,显然由

    所以不等式的解为

    故选:B

    5.若不等式的解集为R,则实数a的取值范围是(       

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    考虑两种情况,得到,解得答案.

    【详解】

    时,,即,成立;

    时,需满足:,解得.

    综上所述:.

    故选:C

    6.若,则的最大值是(             

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    利用基本不等式求解.

    【详解】

    因为,当且仅当,即时成立,

    所以的最大值是1

    故选:C.

    7.已知关于x的不等式解集为,则下列说法错误的是(       

    A

    B.不等式的解集为

    C

    D.不等式的解集为

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    根据已知条件得是方程的两个实根,且,根据韦达定理可得,根据,对四个选项逐个求解或判断可得解.

    【详解】

    由已知可得-23是方程的两根,

    则由根与系数的关系可得,解得,所以A正确;

    对于B化简为,解得B正确;

    对于CC正确;

    对于D化简为:,解得D错误.

    故选:D.

    8.已知集合,对于任意的,使不等式恒成立的x的取值范围为(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    解不等式求出集合,原不等式可转化为恒成立,由即可求解.

    【详解】

    ,得,所以

    由不等式对于任意的恒成立,

    即不等式对于任意的恒成立,

    所以即不等式恒成立,

    所以只需对于任意的恒成立,

    只需对于任意的恒成立.

    因为,所以只需

    故选:B.

    二、多选题

    9.已知正实数ab满足ab2,下列式子中,最小值为2的有(       

    A2ab Ba2b2 C D

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】

    利用基本不等式一正二定三相等的步骤进行判断

    【详解】

    ab02ab0ab≤1,当且仅当ab1时等号成立.

    ab≤1,得2ab≤22ab的最大值为2A错误;

    a2b2(ab)22ab≥422B正确;

    ≥2C正确;

    ≥2D正确.

    故选:BCD

    10.已知,且,则下列不等式中一定成立的是(       

    A B C D

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】

    根据不等式的性质即可判断.

    【详解】

    因为,且,所以,故A正确.

    时,B错误.

    C正确.

    D正确.

    故选:ACD.

    11.解关于x的不等式:,则下列说法中正确的是(       

    A.当时,不等式的解集为

    B.当时,不等式的解集为

    C.当时,不等式的解集为

    D.当时,不等式的解集为

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】

    讨论参数,结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

    【详解】

    A,则,可得解集为,正确;

    B,则,可得解集为,正确;

    C,当时解集为;当时无解;当时解集为,错误;

    D:由C知:,即,此时无解,正确.

    故选:ABD

    12.设,则当取最小值时,下列说法正确的是(       ).

    A B C D

    【答案】AC

    【解析】

    将原式整理为,根据基本不等式和二次函数的性质可得选项.

    【详解】

    因为,所以

    原式

    当且仅当,即时,等号成立,此时

    故选:AC

    【点睛】

    本题考查基本不等式的应用,属于中档题.

    利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

    1一正二定三相等”“一正就是各项必须为正数;

    2二定就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

    3三相等是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

    三、填空题

    13.不等式的解集是___________

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    移项通分化简,等价转化为,进一步等价转化为二次不等式(),注意分母不能为零,然后求解即得.

    【详解】

    原不等式等价于,化简得,又等价于

    解得:

    故答案为:.

    14.函数的定义域为,则实数的取值范围为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    函数的定义域为,等价于恒成立,然后分两种情况讨论求解即可得答案

    【详解】

    函数的定义域为,等价于恒成立,

    时,显然成立;

    时,由,得

    综上,实数的取值范围为

    故答案为:

    15.为配制一种药液,进行了二次稀释,先在体积为的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则的取值范围为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    根据题意列出不等式,最后求解不等式即可.

    【详解】

    第一次操作后,利下的纯药液为

    第二次操作后,利下的纯药液为,由题意可知:

    因为,所以

    故答案为:

    16.已知,满足,存在实数m,对于任意xy,使得恒成立,则的最大值为____________.

    【答案】2

    【解析】

    【分析】

    首先根据题意得到,从而得到,即,再根据恒成立,即可得到的最大值.

    【详解】

    因为

    所以

    所以.

    ,解得.

    因为恒成立,所以,即.

    所以的最大值为.

    故答案为:

    【点睛】

    本题主要考查基本不等式,同时考查了不等式的恒成立问题,属于中档题.

    四、解答题

    17.(1)设,试比较的大小;

    2)已知,求的取值范围.

    【答案】(1)答案见解析;(2.

    【解析】

    【分析】

    1)通过作差化简原式等价于,通过分为两种情形得结果;

    2)将线性表示,结合不等式的性质即可得结果.

    【详解】

    1

    时,

    时,

    2)设

    解得

    18.已知二次函数yax2+bxa+2

    (1)若关于x的不等式ax2+bxa+20的解集是{x|﹣1x3},求实数ab的值;

    (2)b2a0,解关于x的不等式ax2+bxa+20

    【答案】(1)a﹣1b2

    (2)见解析

    【解析】

    【分析】

    1)根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可;

    2)根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

    (1)

    由题意知,﹣13是方程ax2+bxa+20的两根,

    所以,解得a﹣1b2

    (2)

    b2时,不等式ax2+bxa+20ax2+2xa+20

    即(axa+2)(x+1)>0,所以

    时,解集为

    时,解集为

    时,解集为.

    19.(1)已知,求证:>

    2)已知,求证:

    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

    【解析】

    【分析】

    1)由条件可得,然后可得,然后可证明;

    2)由条件可得,然后利用基本不等式证明即可.

    【详解】

    1

    ,又

    ,又>

    2)因为

    所以,同理

    所以

    (当且仅当时等号成立)

    20.近日,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,一些城市陆续发出春节期间非必要不返乡,就地过年的倡议.为最大程度减少人员流动,减少疫情发生的可能性,某地政府积极制定政策,决定政企联动,鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此,该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后,产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元),并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+政府专项补贴-成本

    1)求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式;

    2)当政府的专项补贴为多少万元时,A企业春节期间加班追产所获收益最大?

    【答案】(1;(2)即当政府的专项补贴为万元时,A企业春节期间加班追产所获收益最大,最大值为万元;

    【解析】

    1)依题意得到的函数解析式;

    2)利用基本不等式求出函数的最大值,即可得解;

    【详解】

    解:(1)依题意可知,销售金额万元,政府补贴万元,成本为万元;

    所以收益

    2)由(1)可知

    其中,当且仅当,即时取等号,

    所以

    所以当时,A企业春节期间加班追产所获收益最大,最大值为万元;

    即当政府的专项补贴为万元时,A企业春节期间加班追产所获收益最大,最大值为万元;

    21.设有一元二次方程.试问:

    为何值时,有一根大于、另一根小于

    为何值时,有两正根.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    设一元二次方程的两个根分别为,且,利用韦达定理有

    ,进而求出的取值范围;

    由题意得,进而求出的取值范围.

    【详解】

    设一元二次方程的两个根分别为

    ,则

    .

    只要求,即

    则有,解得

    ,则

    故应满足条件

    解得

    【点睛】

    本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于基础题.

    22.求解下列问题:

    (1),且,求的最小值;

    (2),且,求的最小值.

    【答案】(1)

    (2)

    【解析】

    【分析】

    1)利用1的代换结合基本不等式可求最小值.

    2)因为,故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.

    (1)

    因为,且,所以

    .

    当且仅当时,即时,也即时,上式取等号,

    故当.

    (2)

    因为,且

    所以

    当且仅当吋,

    所以当且仅当时,上式取等号,

    故当时,

     


     

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