第22章 一元二次方程单元测试（培优提升卷）- 九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】
展开一元二次方程单元测试（培优提升卷）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•南充一模）方程的解是
A． B． C．， D．，
【解】，
或，
解得，，
故选：．
2．（2021春•亳州期末）把方程化成一般形式，正确的是
A． B． C． D．
【解】将一元二次方程化成一般形式有：，
故选：．
3．（2021春•鹿城区校级期中）用配方法解一元二次方程化成的形式，则、的值分别是
A．3，12 B．，12 C．3，6 D．，6
选：．
4．（2021春•沙坪坝区期末）若是关于的方程的一个根，则的值是
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【解】是关于的方程的一个根，
，
，
．
故选：．
5．（2018•海珠区校级一模）已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为
A．8 B．20 C．8或20 D．10
【解】如图所示：
四边形是菱形，
，
，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，
菱形的周长．
故选：．
6．（2021•菏泽）关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．且 B．且 C． D．
【解】当，即时，此方程为一元二次方程．
关于的方程有实数根，
△，
解得；
当，即时，方程为，显然有解；
综上，的取值范围是，
故选：．
7．（2021•河南一模）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为
A． B． C． D．
选：．
8．（2020秋•潮州期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为，可列得方程为
A． B．
C． D．
选：．
9．（2020秋•东区校级期中）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是
A． B． C． D．
【解】，
，
，
，，
，，
，．
三角形的三条边为，，，
，
．
又这个三角形的最大边为，
．
故选：．
10．（2018秋•宝山区校级期中）已知，，当取任意实数时，则、的大小关系为
A．总有 B．可能 C．总有 D．不确定
【解】
即总有
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•门头沟区期末）一元二次方程的二次项系数是 3 ，常数项是 ．
答案为：3，．
12．（2021春•肥东县期末）如果是方程的一个根，则 3 ．
答案是：3．
13．（2021春•阜阳月考）已知关于的一元二次方程满足，则这个一元二次方程一定有一个解是 ．
答案为．
14．（2020秋•南沙区期末）若是方程的一个根，则的值为 2024 ．
【解】由题意可知：，
，
原式．
15．（2020秋•泰兴市期末）某小区2019年的绿化面积为，计划2021年的绿化面积为，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．
【解析】设每年绿化面积的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：．
16．（2020•黔南州）对于实数，，定义运算“”例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 0 ．
【解】，解得：，
即，
则，
故答案为0．
17．（2021春•台江区校级月考）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解是 或 ．
【解】关于的方程的解是，，
方程变形为，即此方程中或，
解得或．
故答案为：或．
18．（2021•郫都区校级模拟）已知，，且，则的值为 3 ．
【解】，
，
方程两边同时除以，再乘变形为，
，
和可看作方程的两根，
，
．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•平阴县期末）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【解】（1），
，
则或，
解得，；
（2），
，
，
则，
或，
解得，．
20．（2021春•宝应县期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
【解】（1）由题意得：，
，
，
，
，
，
，；
（2）一元二次方程无解，
△，
解得：．
21．（2021春•延庆区期末）有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
【解】设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得
．
整理，得．
解得，．
因为．
所以不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为．
22．（2020秋•南安市期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）若要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到？请说明理由．
【解】（1）设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米．
根据题意，得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：养鸡场的长为16米，宽为10米．
（2）围成养鸡场的面积不能达到．
理由如下：
设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米．
根据题意，得：，
整理得：，
△．
方程无解．
答：围成养鸡场的面积不能达到．
23．（2020秋•大东区期末）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 24 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
【解】（1）（件．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价元，则平均每天可销售件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
24．（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【解】（1）设经过秒以后，面积为此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：或（舍；
答：1秒后的面积等于；
（2）设经过秒后，的长度等于，由，
即，
解得：（舍去）或3．
则3秒后，的长度为；
（3）假设经过秒后，的面积等于，即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，所以的面积不能等于．
25．（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：
材料一：若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数，，构成“和谐三数组”．
材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ，2，3（答案不唯一） ；
（2）若，是关于的方程，，均不为的两根，是关于的方程，均不为的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”．
【解】（1），
，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：，是关于的方程，，均不为的两根，
，，
，
是关于的方程，均不为的解，
，
，
，
，，可以构成“和谐三数组”．
26．（2019秋•渝北区校级月考）阅读下列材料：
（1）将一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形，叫做这个多项式的因式分解：例如；
（2）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法；
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
再例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．
【解】（1）
；
（2）
，
当，时，有最小值5；
（3），
，
，
，
，，
，
为等边三角形．
