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华东师大版初中数学九年级上册第22章素养提优测试卷课件
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九年级 上册 第22章 素养提优测试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(共10小题,每小题4分,计40分.每小题只有一个选项是符合题意的)1. (2023吉林长春东北师大附中期末,2,★☆☆)若关于x的方程(m-1)x|m|+1+2mx+2= 0是一元二次方程,则m的值为 ( )A. -1 B. 2 C. ±1 D. 1A误区解读 本题易因忽略二次项系数不为0的限制条件而致错.2. (2023安徽合肥五十中西校期中,6,★☆☆)若关于x的一元二次方程的两个根 为x1=1,x2=2,则这个方程可能是 ( )A. x2+3x-2=0 B. x2+3x+2=0C. x2-3x+2=0 D. x2-2x+3=0解析 C 由题意知x1+x2=3,x1x2=2,根据根与系数的关系得到满足条件的方程可 能是x2-3x+2=0.C3. (2024河北张家口宣化期末,5,★☆☆)某节数学课 上,甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全 正确的个数为 对应目标编号M9122002 ( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0C解析 C 甲同学的解法错误,方程两边不能同时除以(x-1),这样会漏解;乙同学 的解法错误,配方时,方程两边应同时加上一次项系数一半的平方;丙同学利用因 式分解法解方程,计算正确.4. (2023辽宁朝阳中考,9,★☆☆)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个 不相等的实数根,则k的取值范围是 对应目标编号M9122003 ( )A. k> 且k≠1 B. k> C. k≥ 且k≠1 D. k≥ A5. (★☆☆)如图,某小区计划在一个长16 m,宽9 m的长方 形场地上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与BC平行,其余 部分种草.如果草坪部分的总面积为112 m2,设小路的宽为x m,那么x满足的方程 是 对应目标编号M9122001 ( ) A. x2-25x+16=0 B. x2-25x+3=0C. x2-17x+16=0 D. x2-17x-16=0C解析 C ∵小路的宽为x m,∴草坪部分可合成长为(16-2x)m,宽为(9-x)m的长 方形.根据题意得(16-2x)·(9-x)=112,整理得x2-17x+16=0.6. (2022贵州遵义桐梓模拟,8,★☆☆)从n个不同元素中任取m个按照一定的顺序 排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列.所有不同排列的个数称为 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,一般我们记作 ,则 =n(n-1)·…·(n-m+1).例如 =4×3=12.若 =20,则x的值为 ( )A. 5或-4 B. -4C. 5 D. -5或-4解析 C ∵ =20,∴x(x-1)=20,整理得x2-x-20=0,分解因式得(x-5)(x+4)=0,∴x-5=0或x+4=0,解得x1=5,x2=-4,由题意可知x>0,∴x的值为5.C7. (2022内蒙古呼和浩特中考,8,★☆☆)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数 根,则代数式 -2 022x1+ 的值是 对应目标编号M9122004 ( )A. 4 045 B. 4 044 C. 2 022 D. 1A8. (2023四川成都龙泉驿区期末,8,★★☆)已知关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个 实数根分别为α,β,若|α|+|β|=6,那么实数m的值是 对应目标编号M9122004 ( )A. 8 B. 9 C. 10 D. 11解析 B ∵关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个实数根分别为α,β,∴α+β=2,αβ=-m+ 1,又∵|α|+|β|=6,∴α,β异号,即αβ<0,由α+β=2得α2+β2=4-2αβ,由|α|+|β|=6得α2+β2=36-2|αβ|,∴4-2αβ=36-2|αβ|=36+2αβ,∴αβ=-8,∴-m+1=-8,∴m=9.B9. (2024湖南衡阳衡南期中,12,★★☆)我国古代数学家曾经 研究过一元二次方程的几何解法,以方程x2+5x=14为例,三国时期的数学家赵爽 在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造如图所示的大正方形ABCD, 它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成,根据面积关系可求得AB的长, 从而解得x.根据此法,图中正方形ABCD的面积是 对应目标编号M9122005 ( ) A. 49 B. 64 C. 81 D. 100C解析 C ∵S正方形ABCD=4x(x+5)+52=4(x2+5x)+25,∵x2+5x=14,∴S正方形ABCD=4×14+25= 81.10. (2024福建泉州洛江二模,8,★★☆)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a +1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 ( )A. 1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C. 1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D. 1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D解析 D ∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根, ∴ ∴b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时,a-b+1=0,此时-1是方程x2+bx+a=0的根;当b=-(a+1)时,a+b+1=0,此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a +1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.二、填空题(共6小题,每小题4分,计24分)11. (2023河南南阳宛城期末,15,★☆☆)将方程(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方 程的一般形式后,二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则a+b+c= .-3解析 原方程整理得3x2-7x+1=0,∴a=3,b=-7,c=1,∴a+b+c=3-7+1=-3.12. (★☆☆)已知b= + +2,则关于x的方程x2+bx+a=0的根是 .x1=-3,x2=1解析 ∵b= + +2,∴-3-a≥0,a-(-3)≥0,∴a=-3,∴b=2,∴方程为x2+2x-3=0,分解因式得(x+3)(x-1)=0,解得x1=-3,x2=1.13. (2024吉林延边期末,10,★☆☆)根据物理学规律,如果把一个 物体从地面以10 m/s的速度竖直向上抛出(如图所示),那么物体经过x s时离地面 的高度(单位:m)为(10x-4.9x2)m.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间约 为 s(结果保留整数). 对应目标编号M9122005 214. (2024湖南衡阳船山实验中学期中,16,★☆☆)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解 是x1=3,x2=6(a,m,b均为常数,a≠0),则关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是 . 对应目标编号M9122002x1=1,x2=4解析 ∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3,x2=6(a,m,b均为常数,a≠0),关于x 的方程a(x+m+2)2+b=0可变形为a\[(x+2)+m\]2+b=0,∴x+2=3或x+2=6,解得x=1或x= 4,故关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=1,x2=4.15. (2024福建莆田城厢南门学校月考,16,★★☆)已知关于x的一元二次方程:x2-2 x-a=0,有下列结论:①当a>-1时,方程有两个不相等的实数根;②当a>0时,方程不可能有两个异号的实数根;③当a>-1时,方程的两个实数根不可能都小于1;④当a>3时,方程的两个实数根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为 . 3解析 ∵x2-2x-a=0,∴Δ=4+4a,①当a>-1时,Δ>0,方程有两个不相等的实数根;② 当a>0时,Δ>0,两根之积=-a<0,此时方程有两个异号的实数根;③当a>-1时,方程的 根为x= =1± ,∵a>-1,∴方程的两个实数根不可能都小于1;④当a>3时,由③可知,两个实数根一个大于3,另一个小于3.综上,正确的个数为3.16. [一题多解](2023江苏连云港中考,16,★★☆)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为 实数),则W的最小值为 .-2解析 解法1(利用根的判别式):由题意得5x2+(8-4y)x+(y2-2y+3-W)=0,∵x为实数, ∴(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0,即5W≥(y+3)2-10≥-10,∴W≥-2,∴W的最小值为-2.解法2(利用配方法):W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=x2+4x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4xy+y2-2y +x2+8x+3=(2x-y)2-2y+x2+4x+4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+2(2x-y)+1-1+x2+ 4x+4-4+3=\[(2x-y)2+2(2x-y)+1\]+(x2+4x+4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2,∵x,y均为实数,∴(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,∴W≥-2,即W的最小值为-2.三、解答题(共5小题,计56分)17. (2024辽宁朝阳建平期末,23,★☆☆)(8分)解下列方程:(1)x2-5x+1=0(用配方法).(2)阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x-2)2+7(x-2)+4=0.解:设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0.∵a=3,b=7,c=4,∴b2-4ac=72-4×3×4=1.∴y= = .∴y1=-1,y2=- .当y=-1时,x-2=-1,∴x=1;当y=- 时,x-2=- ,∴x= .∴原方程的解为x1=1,x2= .请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x-3)2-5(x-3)-7=0.解析 (1)原方程可化为x2-5x=-1,配方得x2-5x+ = ,即 = ,开平方得x- =± ,∴x1= ,x2= .(2)设x-3=y,则原方程可化为2y2-5y-7=0.∵a=2,b=-5,c=-7,∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)= 81,∴y= = ,∴y1=-1,y2= ,当y=-1时,x-3=-1,∴x=2;当y= 时,x-3= ,∴x= ,∴原方程的解为x1=2,x2= .18. (2024四川遂宁射洪期末,31,★☆☆)(10分)某种商品的标价为200元/件,由于 天气的影响,销量不佳,店家对该种商品进行两次降价后的价格为162元/件,并且 两次降价的百分率相同. 对应目标编号M9122005(1)求该种商品每次降价的百分率.(2)若该种商品进价为114元/件,若以162元/件的价格售出,平均每天能售出20件, 另外每天需支付其他各种费用100元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若 每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天盈利1 475元,那么每件该种商品应 降价多少元?解析 (1)设该种商品每次降价的百分率为x,依题意得200(1-x)2=162,解得x1=0.1= 10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),故该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y元,根据题意得(162-114-y)(20+5y)-100=1 475,解得y1=41,y2 =3,∵每件降价幅度不超过10元,∴y1=41不合题意,故每件该种商品应降价3元.19. (2023辽宁沈阳南昌中学期中,21,★★☆)(12分)如图, 利用一面墙(墙EF最长可利用28米),围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边 BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙).材料总长60米.(1)当BC为多少米时,矩形花园的面积为300平方米?(2)能否围成480平方米的矩形花园?为什么?(计算说明)(3)能否围成500平方米的矩形花园?为什么?(计算说明) 解析 设BC的长为x米,则AB=DC= (60-x+2)米.(1)由题意得 (60-x+2)x=300,∴x2-62x+600=0,解得x1=12,x2=50,∵12<28,50>28,∴x=12.∴当BC为12米时,矩形花园的面积为300平方米.(2)由题意得 (60-x+2)x=480,∴x2-62x+960=0,解得x1=32,x2=30,∵32>30>28,∴不能围成480平方米的矩形花园.(3)由题意得 (60-x+2)x=500,∴x2-62x+1 000=0,∵Δ=(-62)2-4 000=-156<0,∴该方程无解,即不能围成500平方米的矩形花园.20. (2024福建厦门六中期中,23,★★☆)(12分)定义:若关 于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2(x1≤x2).分别以x1,x2为 横,纵坐标得到点M(x1,x2),则称点M为该一元二次方程的衍生点.(1)若方程为x2=3x,写出该一元二次方程的衍生点M的坐标.(2)关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-m=0,求出当它的衍生点M距离原点最近 时,m的值.解析 (1)x2=3x移项得x2-3x=0,分解因式得x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3,∴该一元二次方程的衍生点M的坐标为(0,3).(2)设x2-(2m-1)x+m2-m=0的两个实数根为x1,x2(x1≤x2),则x1+x2=2m-1,x1x2=m2-m,∴OM= = = = ,当m= 时,OM有最小值,最小值为 = ,即当它的衍生点M距离原点最近时,m的值为 .21. (2023河南郑州枫杨外国语学校期中,26,★★☆)(14分)阅读材料,解答问题.材料一:已知实数a,b(a≠b)满足a2+5a-1=0,b2+5b-1=0,则可将a,b看作一元二次方 程x2+5x-1=0的两个不相等的实数根.材料二:已知x2+5x-2=0,求x- 的值.某同学解答思路如下:由x2+5x-2=0可得x+5- =0,所以x- =-5.(1)直接应用:已知实数a,b(a≠b)满足a2-7a-2=0,b2-7b-2=0,求a+b-ab的值.(2)间接运用:已知实数m,n满足3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0,且mn≠1,求 的值.解析 (1)∵实数a,b(a≠b)满足a2-7a-2=0,b2-7b-2=0,∴可将a,b看作一元二次方程 x2-7x-2=0的两个不相等的实数根,∴a+b=7,ab=-2,∴a+b-ab=7-(-2)=9.(2)在方程2n2+7n-3=0的两边同时除以-n2,得 -7× -2=0,∵3m2-7m-2=0,且mn≠1,∴可将m, 看作一元二次方程3x2-7x-2=0的两个不相等的实数根,∴m+ = , =- ,易知n≠0,∴ = = = .
九年级 上册 第22章 素养提优测试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(共10小题,每小题4分,计40分.每小题只有一个选项是符合题意的)1. (2023吉林长春东北师大附中期末,2,★☆☆)若关于x的方程(m-1)x|m|+1+2mx+2= 0是一元二次方程,则m的值为 ( )A. -1 B. 2 C. ±1 D. 1A误区解读 本题易因忽略二次项系数不为0的限制条件而致错.2. (2023安徽合肥五十中西校期中,6,★☆☆)若关于x的一元二次方程的两个根 为x1=1,x2=2,则这个方程可能是 ( )A. x2+3x-2=0 B. x2+3x+2=0C. x2-3x+2=0 D. x2-2x+3=0解析 C 由题意知x1+x2=3,x1x2=2,根据根与系数的关系得到满足条件的方程可 能是x2-3x+2=0.C3. (2024河北张家口宣化期末,5,★☆☆)某节数学课 上,甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全 正确的个数为 对应目标编号M9122002 ( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0C解析 C 甲同学的解法错误,方程两边不能同时除以(x-1),这样会漏解;乙同学 的解法错误,配方时,方程两边应同时加上一次项系数一半的平方;丙同学利用因 式分解法解方程,计算正确.4. (2023辽宁朝阳中考,9,★☆☆)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个 不相等的实数根,则k的取值范围是 对应目标编号M9122003 ( )A. k> 且k≠1 B. k> C. k≥ 且k≠1 D. k≥ A5. (★☆☆)如图,某小区计划在一个长16 m,宽9 m的长方 形场地上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与BC平行,其余 部分种草.如果草坪部分的总面积为112 m2,设小路的宽为x m,那么x满足的方程 是 对应目标编号M9122001 ( ) A. x2-25x+16=0 B. x2-25x+3=0C. x2-17x+16=0 D. x2-17x-16=0C解析 C ∵小路的宽为x m,∴草坪部分可合成长为(16-2x)m,宽为(9-x)m的长 方形.根据题意得(16-2x)·(9-x)=112,整理得x2-17x+16=0.6. (2022贵州遵义桐梓模拟,8,★☆☆)从n个不同元素中任取m个按照一定的顺序 排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列.所有不同排列的个数称为 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,一般我们记作 ,则 =n(n-1)·…·(n-m+1).例如 =4×3=12.若 =20,则x的值为 ( )A. 5或-4 B. -4C. 5 D. -5或-4解析 C ∵ =20,∴x(x-1)=20,整理得x2-x-20=0,分解因式得(x-5)(x+4)=0,∴x-5=0或x+4=0,解得x1=5,x2=-4,由题意可知x>0,∴x的值为5.C7. (2022内蒙古呼和浩特中考,8,★☆☆)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数 根,则代数式 -2 022x1+ 的值是 对应目标编号M9122004 ( )A. 4 045 B. 4 044 C. 2 022 D. 1A8. (2023四川成都龙泉驿区期末,8,★★☆)已知关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个 实数根分别为α,β,若|α|+|β|=6,那么实数m的值是 对应目标编号M9122004 ( )A. 8 B. 9 C. 10 D. 11解析 B ∵关于x的方程x2-2x-m+1=0的两个实数根分别为α,β,∴α+β=2,αβ=-m+ 1,又∵|α|+|β|=6,∴α,β异号,即αβ<0,由α+β=2得α2+β2=4-2αβ,由|α|+|β|=6得α2+β2=36-2|αβ|,∴4-2αβ=36-2|αβ|=36+2αβ,∴αβ=-8,∴-m+1=-8,∴m=9.B9. (2024湖南衡阳衡南期中,12,★★☆)我国古代数学家曾经 研究过一元二次方程的几何解法,以方程x2+5x=14为例,三国时期的数学家赵爽 在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造如图所示的大正方形ABCD, 它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成,根据面积关系可求得AB的长, 从而解得x.根据此法,图中正方形ABCD的面积是 对应目标编号M9122005 ( ) A. 49 B. 64 C. 81 D. 100C解析 C ∵S正方形ABCD=4x(x+5)+52=4(x2+5x)+25,∵x2+5x=14,∴S正方形ABCD=4×14+25= 81.10. (2024福建泉州洛江二模,8,★★☆)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a +1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 ( )A. 1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C. 1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D. 1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D解析 D ∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根, ∴ ∴b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时,a-b+1=0,此时-1是方程x2+bx+a=0的根;当b=-(a+1)时,a+b+1=0,此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a +1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.二、填空题(共6小题,每小题4分,计24分)11. (2023河南南阳宛城期末,15,★☆☆)将方程(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方 程的一般形式后,二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则a+b+c= .-3解析 原方程整理得3x2-7x+1=0,∴a=3,b=-7,c=1,∴a+b+c=3-7+1=-3.12. (★☆☆)已知b= + +2,则关于x的方程x2+bx+a=0的根是 .x1=-3,x2=1解析 ∵b= + +2,∴-3-a≥0,a-(-3)≥0,∴a=-3,∴b=2,∴方程为x2+2x-3=0,分解因式得(x+3)(x-1)=0,解得x1=-3,x2=1.13. (2024吉林延边期末,10,★☆☆)根据物理学规律,如果把一个 物体从地面以10 m/s的速度竖直向上抛出(如图所示),那么物体经过x s时离地面 的高度(单位:m)为(10x-4.9x2)m.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间约 为 s(结果保留整数). 对应目标编号M9122005 214. (2024湖南衡阳船山实验中学期中,16,★☆☆)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解 是x1=3,x2=6(a,m,b均为常数,a≠0),则关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是 . 对应目标编号M9122002x1=1,x2=4解析 ∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3,x2=6(a,m,b均为常数,a≠0),关于x 的方程a(x+m+2)2+b=0可变形为a\[(x+2)+m\]2+b=0,∴x+2=3或x+2=6,解得x=1或x= 4,故关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=1,x2=4.15. (2024福建莆田城厢南门学校月考,16,★★☆)已知关于x的一元二次方程:x2-2 x-a=0,有下列结论:①当a>-1时,方程有两个不相等的实数根;②当a>0时,方程不可能有两个异号的实数根;③当a>-1时,方程的两个实数根不可能都小于1;④当a>3时,方程的两个实数根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为 . 3解析 ∵x2-2x-a=0,∴Δ=4+4a,①当a>-1时,Δ>0,方程有两个不相等的实数根;② 当a>0时,Δ>0,两根之积=-a<0,此时方程有两个异号的实数根;③当a>-1时,方程的 根为x= =1± ,∵a>-1,∴方程的两个实数根不可能都小于1;④当a>3时,由③可知,两个实数根一个大于3,另一个小于3.综上,正确的个数为3.16. [一题多解](2023江苏连云港中考,16,★★☆)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为 实数),则W的最小值为 .-2解析 解法1(利用根的判别式):由题意得5x2+(8-4y)x+(y2-2y+3-W)=0,∵x为实数, ∴(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0,即5W≥(y+3)2-10≥-10,∴W≥-2,∴W的最小值为-2.解法2(利用配方法):W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=x2+4x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4xy+y2-2y +x2+8x+3=(2x-y)2-2y+x2+4x+4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+2(2x-y)+1-1+x2+ 4x+4-4+3=\[(2x-y)2+2(2x-y)+1\]+(x2+4x+4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2,∵x,y均为实数,∴(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,∴W≥-2,即W的最小值为-2.三、解答题(共5小题,计56分)17. (2024辽宁朝阳建平期末,23,★☆☆)(8分)解下列方程:(1)x2-5x+1=0(用配方法).(2)阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x-2)2+7(x-2)+4=0.解:设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0.∵a=3,b=7,c=4,∴b2-4ac=72-4×3×4=1.∴y= = .∴y1=-1,y2=- .当y=-1时,x-2=-1,∴x=1;当y=- 时,x-2=- ,∴x= .∴原方程的解为x1=1,x2= .请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x-3)2-5(x-3)-7=0.解析 (1)原方程可化为x2-5x=-1,配方得x2-5x+ = ,即 = ,开平方得x- =± ,∴x1= ,x2= .(2)设x-3=y,则原方程可化为2y2-5y-7=0.∵a=2,b=-5,c=-7,∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)= 81,∴y= = ,∴y1=-1,y2= ,当y=-1时,x-3=-1,∴x=2;当y= 时,x-3= ,∴x= ,∴原方程的解为x1=2,x2= .18. (2024四川遂宁射洪期末,31,★☆☆)(10分)某种商品的标价为200元/件,由于 天气的影响,销量不佳,店家对该种商品进行两次降价后的价格为162元/件,并且 两次降价的百分率相同. 对应目标编号M9122005(1)求该种商品每次降价的百分率.(2)若该种商品进价为114元/件,若以162元/件的价格售出,平均每天能售出20件, 另外每天需支付其他各种费用100元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若 每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天盈利1 475元,那么每件该种商品应 降价多少元?解析 (1)设该种商品每次降价的百分率为x,依题意得200(1-x)2=162,解得x1=0.1= 10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),故该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y元,根据题意得(162-114-y)(20+5y)-100=1 475,解得y1=41,y2 =3,∵每件降价幅度不超过10元,∴y1=41不合题意,故每件该种商品应降价3元.19. (2023辽宁沈阳南昌中学期中,21,★★☆)(12分)如图, 利用一面墙(墙EF最长可利用28米),围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边 BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙).材料总长60米.(1)当BC为多少米时,矩形花园的面积为300平方米?(2)能否围成480平方米的矩形花园?为什么?(计算说明)(3)能否围成500平方米的矩形花园?为什么?(计算说明) 解析 设BC的长为x米,则AB=DC= (60-x+2)米.(1)由题意得 (60-x+2)x=300,∴x2-62x+600=0,解得x1=12,x2=50,∵12<28,50>28,∴x=12.∴当BC为12米时,矩形花园的面积为300平方米.(2)由题意得 (60-x+2)x=480,∴x2-62x+960=0,解得x1=32,x2=30,∵32>30>28,∴不能围成480平方米的矩形花园.(3)由题意得 (60-x+2)x=500,∴x2-62x+1 000=0,∵Δ=(-62)2-4 000=-156<0,∴该方程无解,即不能围成500平方米的矩形花园.20. (2024福建厦门六中期中,23,★★☆)(12分)定义:若关 于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2(x1≤x2).分别以x1,x2为 横,纵坐标得到点M(x1,x2),则称点M为该一元二次方程的衍生点.(1)若方程为x2=3x,写出该一元二次方程的衍生点M的坐标.(2)关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-m=0,求出当它的衍生点M距离原点最近 时,m的值.解析 (1)x2=3x移项得x2-3x=0,分解因式得x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3,∴该一元二次方程的衍生点M的坐标为(0,3).(2)设x2-(2m-1)x+m2-m=0的两个实数根为x1,x2(x1≤x2),则x1+x2=2m-1,x1x2=m2-m,∴OM= = = = ,当m= 时,OM有最小值,最小值为 = ,即当它的衍生点M距离原点最近时,m的值为 .21. (2023河南郑州枫杨外国语学校期中,26,★★☆)(14分)阅读材料,解答问题.材料一:已知实数a,b(a≠b)满足a2+5a-1=0,b2+5b-1=0,则可将a,b看作一元二次方 程x2+5x-1=0的两个不相等的实数根.材料二:已知x2+5x-2=0,求x- 的值.某同学解答思路如下:由x2+5x-2=0可得x+5- =0,所以x- =-5.(1)直接应用:已知实数a,b(a≠b)满足a2-7a-2=0,b2-7b-2=0,求a+b-ab的值.(2)间接运用:已知实数m,n满足3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0,且mn≠1,求 的值.解析 (1)∵实数a,b(a≠b)满足a2-7a-2=0,b2-7b-2=0,∴可将a,b看作一元二次方程 x2-7x-2=0的两个不相等的实数根,∴a+b=7,ab=-2,∴a+b-ab=7-(-2)=9.(2)在方程2n2+7n-3=0的两边同时除以-n2,得 -7× -2=0,∵3m2-7m-2=0,且mn≠1,∴可将m, 看作一元二次方程3x2-7x-2=0的两个不相等的实数根,∴m+ = , =- ,易知n≠0,∴ = = = .
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