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初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教案设计
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这是一份初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教案设计，共8页。教案主要包含了课堂教学目标检测等内容，欢迎下载使用。
2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
教学内容及内容解析
1.教学内容
知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.
2.内容解析
本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.
基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.
目标和目标解析
1.目标
（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.
（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.
（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.
达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.
达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.
达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.
学生学情分析
本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.
本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.
教学策略分析
苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.
教学过程设计
1.复习回顾，引入新课
问题1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？
师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.
追问1 此时，方程的根就可以表示为？
师生活动：教师提出问题，学生齐答.
追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？
师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.
设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．
2.研究问题，探索新知
问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？
师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)
追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？
师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.
追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？
师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到的过程中是否可以运用平方差公式.
(预设学生得到的结果不一致，可能有，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)
设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.
问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?
师生活动：学生容易选择和，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.
追问1 除此以外，还有其它原因吗？
追问2 请同学们看到x1-x2，它的结果看起来比较复杂，那x1-x2能不能用x1+x2与x1x2来表示？
师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2，(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2，对比可以发现(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.既然x1-x2的结果能用x1+x2与x1x2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.
追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？
师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.
综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实根x1，x2，那么，
.
教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.
设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.
练习1 方程2x2−3x−2=0的两根分别是x1，x2，那么（ ）
A. B.
C. D.
师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a，b，c的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x1=2，x2=，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.
设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.
练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程.
师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到，，也就有b=−2a，c=−3a，如果令a=1，那么b=-2，c=−3，所以方程就可以是x2−2x−3=0）.
追问1 大家都是写的这个方程吗？
追问2 你是怎么得到这个方程的？
师生活动：学生回答所写方程（预设：-x2+2x+3=0，2x2−4x−6=0...）后，教师马上问追问2.
追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？
师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a，b，c的不定方程.
追问4 除了对a可以赋值以外，还可以？
追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？
师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b，c中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a，b，c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.
设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.
练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?
追问1 这个方程是唯一的吗？
师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x2−2x−3=0，所以这些方程的解都是−1和3.
设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a，b，c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.
教师活动：我们在对一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)变形时，一般会把二次项系数a化为1，原方程就会变形为 (a≠0)，此时方程的两根之和依然是，两根之积依然是.但 (a≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令，，此时一元二次方程就可写为x2+px+q=0，一元二次方程的根与系数的关系就是，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.
设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.
练习4 已知方程5x2+kx−6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k的值（教材习题2.8的第3题）.
师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.
设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.
3.回顾课堂，小结升华
师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：
（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，，，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.
（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.
（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.
设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.
4.布置作业，课后巩固
必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；
选做：拓展思考题，已知x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的根，请求出与的值.
设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式.
六、课堂教学目标检测
1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（ ）
A．1，﹣3 B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.
已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，
则ab＝ ．
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.
已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式的值为 ．
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.
4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．
设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.
2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
教学内容及内容解析
1.教学内容
知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.
2.内容解析
本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.
基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.
目标和目标解析
1.目标
（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.
（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.
（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.
达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.
达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.
达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.
学生学情分析
本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.
本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.
教学策略分析
苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.
教学过程设计
1.复习回顾，引入新课
问题1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？
师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.
追问1 此时，方程的根就可以表示为？
师生活动：教师提出问题，学生齐答.
追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？
师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.
设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．
2.研究问题，探索新知
问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？
师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)
追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？
师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.
追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？
师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到的过程中是否可以运用平方差公式.
(预设学生得到的结果不一致，可能有，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)
设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.
问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?
师生活动：学生容易选择和，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.
追问1 除此以外，还有其它原因吗？
追问2 请同学们看到x1-x2，它的结果看起来比较复杂，那x1-x2能不能用x1+x2与x1x2来表示？
师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2，(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2，对比可以发现(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.既然x1-x2的结果能用x1+x2与x1x2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.
追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？
师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.
综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实根x1，x2，那么，
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教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.
设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.
练习1 方程2x2−3x−2=0的两根分别是x1，x2，那么（ ）
A. B.
C. D.
师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a，b，c的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x1=2，x2=，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.
设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.
练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程.
师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到，，也就有b=−2a，c=−3a，如果令a=1，那么b=-2，c=−3，所以方程就可以是x2−2x−3=0）.
追问1 大家都是写的这个方程吗？
追问2 你是怎么得到这个方程的？
师生活动：学生回答所写方程（预设：-x2+2x+3=0，2x2−4x−6=0...）后，教师马上问追问2.
追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？
师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a，b，c的不定方程.
追问4 除了对a可以赋值以外，还可以？
追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？
师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b，c中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a，b，c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.
设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.
练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?
追问1 这个方程是唯一的吗？
师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x2−2x−3=0，所以这些方程的解都是−1和3.
设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a，b，c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.
教师活动：我们在对一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)变形时，一般会把二次项系数a化为1，原方程就会变形为 (a≠0)，此时方程的两根之和依然是，两根之积依然是.但 (a≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令，，此时一元二次方程就可写为x2+px+q=0，一元二次方程的根与系数的关系就是，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.
设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.
练习4 已知方程5x2+kx−6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k的值（教材习题2.8的第3题）.
师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.
设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.
3.回顾课堂，小结升华
师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：
（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，，，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.
（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.
（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.
设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.
4.布置作业，课后巩固
必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；
选做：拓展思考题，已知x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的根，请求出与的值.
设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式.
六、课堂教学目标检测
1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（ ）
A．1，﹣3 B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.
已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，
则ab＝ ．
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.
已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式的值为 ．
设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.
4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．
设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.
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