冀教版九年级上册24.3 一元二次方程根与系数的关系教学设计

24．3  一元二次方程根与系数的关系*

1．探索一元二次方程根与系数的关系；

2．会不解方程利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．

一、情境导入

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？

二、合作探究

探究点一：利用一元二次方程根与系数的关系直接求两根之和、两根之积

利用一元二次方程根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．

解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．

解：这里a＝3，b＝6，c＝－1．

∵b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－＝－2，x1·x2＝＝－．

方法总结：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝．

探究点二：一元二次方程根与系数的关系的应用

【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值

  设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋．

解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－．

(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－；

(2)＋＝＝＝

＝－．

方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0．

【类型二】 根据方程的根确定一元二次方程

  已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可能是(　　)

A．x2－6x＋8＝0  B．x2＋9x－1＝0

C．x2－x－6＝0   D．x2＋x－20＝0

解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20．若令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20．∴方程为x2＋x－20＝0．故选D．

方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．

【类型三】根据一元二次方程根与系数的关系确定方程的解

  已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则其另一个根为________．

解析：设另一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1．故答案为x＝－1．

方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程根与系数的关系列出方程即可解决．

【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数的值

 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)

A．－1或5    B．1

C．5          D．－1

解析：将两根的平方和转化为用两根之和、两根之积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x＋x＝5．∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5．∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5．解得a1＝5，a2＝－1．又∵b2－4ac＝a2－8a，∴当a＝5时，b2－4ac<0，此时方程无实数根，则舍去a＝5；当a＝－1时，b2－4ac>0，此时方程有两实数根．则a＝－1．故选D．

方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根之和、两根之积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件b2－4ac≥0，导致解答不全面．

【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用

  已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．

解：(1)存在．由题意得判别式为(2a)2－4a(a－6)＝24a≥0．解得a≥0．又∵a－6≠0，∴a≥0，且a≠6．由一元二次方程根与系数关系得x1＋x2＝－，x1x2＝．由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，

∴－＋4＝，解得a＝24．经检验a＝24是方程－＋4＝的解．∴存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立；

(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝．∵其为负整数，且a为整数，∴6－a＝－1，－2，－3或－6．∴a＝7或8，9，12．

三、板书设计

教学过程中，强调一元二次方程根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住b2－4ac≥0这个前提条件．