高中数学8.1 基本立体图形第2课时导学案

8.1 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

【学习目标】

【自主学习】

一．圆柱的结构特征

注意：圆柱的简单性质：

(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等.

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.

(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示.

二．圆锥的结构特征

注意：圆锥的简单性质：

(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.

(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.

(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.

(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.

三．圆台的结构特征

注意：圆台的简单性质：

(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.

(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.

(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.

四．球

五．简单组合体

 (1)概念：由      组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)两种构成形式

①由简单几何体    而成；

②由简单几何体        一部分而成．

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　)

(3)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)

(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　)

2.可以旋转得到如图的图形的是(　　)

3.过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是(　　)

A．直角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

【经典例题】

题型一　旋转体的结构特征

点拨：简单旋转体判断问题的解题策略

1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；

2．解题时要注意两个明确：,①明确由哪个平面图形旋转而成；,②明确旋转轴是哪条直线.

例1　下列结论正确的是____.

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

⑦球面上任意三点可能在一条直线上；

⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

【跟踪训练】1下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是(　 　)

A．①②　　　B．②③  C．①③　　　D．②

题型二　简单组合体的结构特征

例2 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)

【跟踪训练】2已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

题型三 圆柱、圆锥、圆台的计算问题

点拨：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.

例3 已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

【跟踪训练】3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

题型四 球的截面问题

点拨：利用球的截面，借助直角三角形，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.

例4 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．

【跟踪训练】4 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为     .

【当堂达标】

1.如图所示的图形中有(　　)

A．圆柱、圆锥、圆台和球　　 B．圆柱、球和圆锥

C．球、圆柱和圆台   D．棱柱、棱锥、圆锥和球

2.如图所示的组合体的结构特征是(　　)

A．一个棱柱中截去一个棱柱

B．一个棱柱中截去一个圆柱

C．一个棱柱中截去一个棱锥

D．一个棱柱中截去一个棱台

3．下列说法中正确的是________．

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．

5.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.　

6.指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

【课堂小结】

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

【参考答案】

【自主学习】

矩形  轴 底面 侧面 平行 圆心  O′O  圆柱 棱柱

直角 直角边  SO ⊙O 顶点  半径 轴   SO 棱锥 圆锥

圆锥  底面  截面  下  上  侧面   OO′  字母  OO′   圆台  棱台

直径  一周 圆心  半径 直径  球心  O

简单几何体  拼接  截去或挖去

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.A 解析：题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．

3.B

【经典例题】

例1 ④⑥⑧  解析：①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.

【跟踪训练】1  D 解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确.

例2 A 解析：该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.

【跟踪训练】2 解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．

(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．

例3 [解]　(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．

由题意可得上底的一半O1A＝2 cm，下底的一半OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．

(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，

则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

【跟踪训练】3【解】　设圆台的母线长为l cm，

由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设

截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

所以＝，所以＝＝.

解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.

例4 [解]　设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.

当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝－＝8－6＝2.

当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝＋＝8＋6＝14.

故两截面间的距离为2或14.

【跟踪训练】4  2解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，

设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.

【当堂达标】

1.B 解析：根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.

2.C 解析：如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．

3. ② 解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．

4. 2 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .

由题意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以h＝2.

5. 13 解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．所以AB＝＝13(cm)．

6.解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．