高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第2课时教学设计

第2课时　单调性与最值

思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？

提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.

1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)

A．增函数　　　 B．减函数

C．先减后增函数   D．先增后减函数

C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．]

2．函数y＝sin x的值域为________．

　[因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.]

3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．

　[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，

此时x＝2kπ－，k∈Z.]

4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．

[0,2]　[因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，

须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]

正弦函数、余弦函数的单调性

【例1】　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．

[思路点拨]　(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．

(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u的单调递增区间．

(1)(－π，0]　[(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]

(2)[解]　令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.

1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．

2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．

提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．

1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．

(2)已知函数y＝cos，则它的单调减区间为________．

(1)，　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得＋≤x≤＋(k∈Z)．

又x∈，

所以函数y＝sin，

x∈的单调递减区间为－，－，，.

(2)y＝cos＝cos，

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]

利用三角函数的单调性比较大小

【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin与sin；

(2)sin 196°与cos 156°；

(3)cos与cos.

[思路点拨]　→

[解]　(1)∵－＜－＜－＜，

∴sin＞sin.

(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，

cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，

∵0°＜16°＜66°＜90°，

∴sin 16°＜sin 66°，

从而－sin 16°＞－sin 66°，

即sin 196°＞cos 156°.

(3)cos＝cosπ

＝cos＝cosπ，

cos＝cosπ

＝cos＝cos.

∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cosπ＜cos，

即cos＜cos.

三角函数值大小比较的策略

1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.

2不同名的函数化为同名的函数.

3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.

2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)

A．sin α＜sin β　　 B．cos α＜sin β

C．cos α＜cos β   D．cos α ＞cos β

(2)比较下列各组数的大小：

①cos，cos；②cos 1，sin 1.

(1)B　[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，

所以cos α＜cos＝sin β.]

(2)[解]　①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，

所以cos＞cos，

即cos＞cos.

②因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin 1，

即cos 1＜sin 1.

正弦函数、余弦函数的最值问题

[探究问题]

1．函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值是多少？

提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.

2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？

提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.

【例3】　(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．

(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．

[思路点拨]　(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．

(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin2x

的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．

(1)[－4,0]　[y＝cos2x＋2sin x－2

＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.

因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，

所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]

(2)[解]　∵0≤x≤，

∴－≤2x－≤，

∴－≤sin≤1，

∴f(x)max＝a＋b＝，

f(x)min＝－a＋b＝－2.

由得

三角函数最值问题的常见类型及求解方法：

1y＝asin2x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.

2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.

1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．

2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.

1．思考辨析

(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．(　　)

(2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　　)

(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0.(　　)

[提示]　(1)错误．y＝sin x在上是增函数，在上是减函数．

(2)正确．y＝cos x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.

(3)正确．函数y＝－sin x在x∈上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．y＝2cos x2的值域是(　　)

A．[－2,2]　　　　 B．[0,2]

C．[－2,0]   D．R

A　[因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cos x2∈[－2,2]．]

3．sin________sin(填“＞”或“＜”)．

＞　[sin＝sin＝sin，

因为0＜＜＜，y＝sin x在上是增函数，所以sin＜sin，即sin＞sin.]

4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．

[解]　求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．