人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质第1课时教学设计

3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)

一、教学目标

1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；

2.会用定义简单证明函数的单调性；

3.通过函数的单调性可以画出函数图像;

4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.

二、教学重难点

1.函数的单调性精确定义;

2.利用函数定义判断函数单调性.

三、教学过程

1.研究函数单调性的过程

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.

2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名  ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!

下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.

 全国现有确诊趋势 本土新增确诊趋势

问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?

【预设的答案】 第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.

【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.

问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.

【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要时,都有.（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下）

【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.

1.2探究典例，形成概念

活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.

【活动预设】当时,都有,这时我们就说函数              在区间上是单调递增的

【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.

问题3：通过上述例子给出函数在区间D上单调性的符号表述.

【活动预设】

一般的,设函数的定义域为区间

如果,当时，都有称函数在区间上单调递增.

如果,当时，都有称函数在区间上单调递减.

活动2：请同学们判断下列命题知否正确

(1)设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且当时,都有,我们能说函数在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？

(2)如果,当时，都有称函数在区间上单调递增.这种说法正确吗？

(3)如果, 都有称函数在区间上单调递增.这种说法正确吗？

(4)函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？

【活动预设】

（1）第一问构造了函数,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.

(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.

【设计意图】

（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；

（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.

2.初步应用，理解概念

例1 根据定义证明函数区间上是单调递减的.

【预设的答案】略

【设计意图】

（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像

（2）单调区间不能并.

练1 根据定义证明函数区间上单调递增.

【预设的答案】略

【设计意图】

（1）让学生自己动手练习；

（2）进一步熟悉定义.

例2 根据定义,研究的单调性.

【预设的答案】略

【设计意图】

体会如何求解含参函数的单调性.

3.归纳小结，文化渗透

1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？

2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？

3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？

【设计意图】

（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.

四、课外作业