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人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了函数的奇偶性，知识梳理，f－x＝fx，最小正数，知识拓展，基础自测，题型分类深度剖析，命题点2求参数问题，－10，函数的性质等内容，欢迎下载使用。
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( )(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( )(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
题组二 教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝_____.
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为______________.
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5].
(－2,0)∪(2,5]
解析 依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，
题组三 易错自纠5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是
6.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝______.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.
典例 判断下列函数的奇偶性：
题型一 判断函数的奇偶性
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
∴函数f(x)为奇函数.
解 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cs xC.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cs(－x)＝x2－cs x＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.
(2)函数f(x)＝lg|sin x|是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数
解析 易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数.
题型二 函数的周期性及其应用
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
2.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_____.
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝_____.
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1× ＝336.又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
命题点1 求函数值或函数解析式
题型三 函数性质的综合应用
典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝_____.
解析 方法一 令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝___________________.
解析 ∵当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
典例 (1)设函数f(x)＝ 为奇函数，则k＝____.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
即3a＋2b＝－2. ①
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
典例 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，则A.f(3)
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
∴x·f(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
∵f(x)为奇函数，在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
跟踪训练 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是A.(0,1) B.(1,10)C.(1，＋∞) D.(10，＋∞)
解析 由题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)<0＝f(0)等价于lg x<0，故0
一、函数性质的判断典例1 (1)(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－ ，则f(x)A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 ∵函数f(x)的定义域为R，
∴函数f(x)是奇函数.
又∵y＝3x在R上是增函数，
(2)(2017·荆州模拟)下列函数：①y＝sin3x＋3sin x；
其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.
(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.
解析 由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对.
二、函数性质的综合应用典例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则 等于
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，
(2)函数f(x)＝ 在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是___________.
解析 由已知函数y＝x＋2 018－ 在[1，＋∞)上是增函数，且y＞0恒成立.
[－1,2 019)
∴a≥－1.又由当x＝1时，y＝1＋2 018－a＞0，得a＜2 019.∴a的取值范围是[－1,2 019) .
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)＞f( )，则a的取值范围是________.
又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
1.下列函数为偶函数的是A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x
解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和B；选项C中，f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，且定义域为R，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中，f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.
2.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析 易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，
由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.
3.(2017·江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))等于A.－1 B.1 C.2 D.－2
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f (f(－1) )＝f(－1)＝－1.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈ 时，f(x)＝lg2(－3x＋1)，则f(2 021)等于A.4 B.2 C.－2 D.lg27
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).
f(x)＝lg2(－3x＋1)，∴f(－1)＝lg2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
5.若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－ 的解集为A.(－∞，2) B.(－∞，1)C.(2，＋∞) D.(1，＋∞)
解析 因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，
6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0)D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).
7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝______.
解析 函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，
8.已知函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝ ＋1，则当x<0时，f(x)＝____________.
9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则 ＝_____.
解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
＝ －1＋21－1＋20－1
10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是_______.
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故 ≤t≤e.
11.已知函数f(x)＝ 是奇函数.(1)求实数m的值；
解 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
所以1
解 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式.
解 当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
即函数f(x)的周期是4，所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1).
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
15.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为____.
解析 因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
16.已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围；
∴－2≤a≤2，故a的取值范围为[－2,2].
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( )(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( )(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
题组二 教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝_____.
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为______________.
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5].
(－2,0)∪(2,5]
解析 依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，
题组三 易错自纠5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是
6.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝______.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.
典例 判断下列函数的奇偶性：
题型一 判断函数的奇偶性
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
∴函数f(x)为奇函数.
解 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cs xC.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cs(－x)＝x2－cs x＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.
(2)函数f(x)＝lg|sin x|是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数
解析 易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数.
题型二 函数的周期性及其应用
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
2.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_____.
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝_____.
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1× ＝336.又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
命题点1 求函数值或函数解析式
题型三 函数性质的综合应用
典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝_____.
解析 方法一 令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝___________________.
解析 ∵当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
典例 (1)设函数f(x)＝ 为奇函数，则k＝____.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
即3a＋2b＝－2. ①
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
典例 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，则A.f(3)
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
∴x·f(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
∵f(x)为奇函数，在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
跟踪训练 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是A.(0,1) B.(1,10)C.(1，＋∞) D.(10，＋∞)
解析 由题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)<0＝f(0)等价于lg x<0，故0
一、函数性质的判断典例1 (1)(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－ ，则f(x)A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 ∵函数f(x)的定义域为R，
∴函数f(x)是奇函数.
又∵y＝3x在R上是增函数，
(2)(2017·荆州模拟)下列函数：①y＝sin3x＋3sin x；
其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.
(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.
解析 由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对.
二、函数性质的综合应用典例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则 等于
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，
(2)函数f(x)＝ 在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是___________.
解析 由已知函数y＝x＋2 018－ 在[1，＋∞)上是增函数，且y＞0恒成立.
[－1,2 019)
∴a≥－1.又由当x＝1时，y＝1＋2 018－a＞0，得a＜2 019.∴a的取值范围是[－1,2 019) .
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)＞f( )，则a的取值范围是________.
又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
1.下列函数为偶函数的是A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x
解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和B；选项C中，f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，且定义域为R，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中，f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.
2.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析 易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，
由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.
3.(2017·江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))等于A.－1 B.1 C.2 D.－2
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f (f(－1) )＝f(－1)＝－1.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈ 时，f(x)＝lg2(－3x＋1)，则f(2 021)等于A.4 B.2 C.－2 D.lg27
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).
f(x)＝lg2(－3x＋1)，∴f(－1)＝lg2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
5.若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－ 的解集为A.(－∞，2) B.(－∞，1)C.(2，＋∞) D.(1，＋∞)
解析 因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，
6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0)D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).
7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝______.
解析 函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，
8.已知函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝ ＋1，则当x<0时，f(x)＝____________.
9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则 ＝_____.
解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
＝ －1＋21－1＋20－1
10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是_______.
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故 ≤t≤e.
11.已知函数f(x)＝ 是奇函数.(1)求实数m的值；
解 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
所以1
解 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式.
解 当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
即函数f(x)的周期是4，所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1).
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
15.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为____.
解析 因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
16.已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围；
∴－2≤a≤2，故a的取值范围为[－2,2].
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