数学沪科版22.1 比例线段精品课时作业

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题22.1比例线段（1）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•青白江区期末）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．

【解析】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；

B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；

C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；

D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；

故选：B．

2．（2019秋•射阳县期末）观察下列每组图形，相似图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．

【解析】A、两图形形状不同，故不是相似图形；

B、两图形形状不同，故不是相似图形；

C、两图形形状相同，故是相似图形；

D、两图形形状不同，故不是相似图形；

故选：C．

3．（2020秋•甘井子区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．120°

【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．

【解析】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，

∴∠E＝∠A＝80°，

故选：B．

4．（2020秋•如皋市期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）

A．3 B．2 C．3 D．2

【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．

【解析】∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，

∴，

解得a＝3或﹣3（舍弃），

∴a＝3，

故选：C．

5．（2020秋•嘉定区期末）如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用比例的性质分析得出答案．

【解析】A、∵，∴，故选项正确；

B、当a+b＝c+d＝0时，等式不成立，故选项错误；

C、当b+d＝0时，等式不成立，故选项错误；

D、无法得到，故选项错误．

故选：A．

6．（2020秋•浦东新区期末）A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（　　）

A．1：500 B．1：5000 C．500：1 D．5000：1

【分析】地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离A′B′与实际距离250米的比值．

【解析】取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，

所以，

所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．

故选：B．

7．（2020秋•崇明区期末）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．

【解析】A、⇒ad＝bc，符合题意；

B、⇒ab＝cd，不符合题意；

C、⇒ab＝cd，不符合题意；

D、⇒ab＝cd，不符合题意．

故选：A．

8．（2020秋•长宁区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（　　）

A．5（3） B．10（2） C．5（1） D．5（1）

【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．

【解析】如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，

∴BP＝AQAB＝5（1），

∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（1）﹣10＝10（2），

故选：B．

9．（2020秋•青浦区期末）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接根据黄金分割的定义求出AP的长即可．

【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，

∴APAB1，

故选：B．

10．（2020秋•沈阳期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（　　）

A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm

【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，周长的比等于相似比，即可解决．

【解析】设较大多边形与较小多边形的周长分别是m，n．则．

因而nm．

根据周长之和是80cm．得到mm＝80．

解得：m＝48cm．

故选：C．

二．填空题（共8小题）

11．（2020秋•长宁区期末）已知，那么的值为　﹣3　．

【分析】利用比例性质得到y＝2x，把y＝2x代入，然后进行分式的化简．

【解析】∵，

∴y＝2x，

∴原式3．

故答案为﹣3．

12．（2020秋•青浦区期末）如果，那么　　．

【分析】根据已知条件设a＝3k，b＝4k（k≠0），再代入要求的式子进行计算即可得出答案．

【解析】∵，

∴设a＝3k，b＝4k（k≠0），

∴．

故答案为：．

13．（2020秋•浦东新区期末）若，且2a+b+c＝33，则a﹣b+c＝　9　．

【分析】设k（k≠0），得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，再根据2a+b+c＝33，求出k的值，然后代入a﹣b+c进行计算即可得出答案．

【解析】设k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

∵2a+b+c＝33，

∴4k+3k+4k＝33，

∴k＝3，

∴a﹣b+c＝2k﹣3k+4k＝3k＝3×3＝9；

故答案为：9．

14．（2020秋•黄浦区期末）已知三角形的三边长为a、b、c，满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为　16　．

【分析】设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，根据周长的定义得到2k+3k+4k＝36，解得k＝4，然后计算出a、b、c，从而得到最大边长．

【解析】设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

∵三角形的周长为36，

∴a+b+c＝36，即2k+3k+4k＝36，解得k＝4，

∴a＝8，b＝12，c＝16，

即该三角形的最大边长为16．

故答案为16．

15．（2020秋•黄浦区期末）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是　22　．

【分析】根据黄金分割的概念得到MPMN，把MN＝4代入计算即可．

【解析】∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，

∴MPMN4＝22，

故答案为：22．

16．（2020秋•黄浦区期末）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为　2或或1　．

【分析】如图，设AB＝a，AD＝2.5a，AE＝x，则DE＝2.5a﹣x．利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．

【解析】如图，设AB＝a，AD＝2.5a，AE＝x，则DE＝2.5a﹣x．

∵矩形ABFE∽矩形EDCF，

∴，

∴，

整理得，x2﹣2.5xa+a2＝0，

解得x＝2a或0.5a，

∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2:1或1:2，

当E．F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1

故答案为：2:1或1:2或1:1．

17．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为　100°　．

【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．

【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，

∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，

∵两个三角形相似，

∴另一个三角形的最大内角度数为100°，

故答案为：100°．

18．（2020秋•禅城区期末）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　1.8　m．

【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可．

【解析】设每条纵向小路的宽为xm．

∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，

∴，

解得，x＝1.8，

或，

解得x＝25.8（不符合实际意义）

故答案为：1.8．

三．解答题（共6小题）

19．（2020秋•静安区期末）已知线段x，y满足，求的值．

【分析】先根据比例的基本性质得到y（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y当作已知数，解关于x的方程即可求得的值．

【解析】∵，

∴y（2x+y）＝x（x﹣y），

则x2﹣3xy﹣y2＝0，

解得x1y，x2y（负值舍去）．

故的值为．

20．（2020秋•松江区月考）已知0，求的值．

【分析】设k≠0，得出a＝2k，b＝3k，c＝5k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．

【解析】设k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝5k，

则．

21．（2019秋•徐汇区期末）已知：a：b：c＝2：3：5

（1）求代数式的值；

（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．

【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；

（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．

【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，

∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），

则1；

（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则

6k﹣3k+5k＝24，

解得k＝3．

则a＝2k＝6，

b＝3k＝9，

c＝5k＝15．

22．（2020秋•兴庆区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．

（1）α＝　83°　，它们的相似比是　　．

（2）求边x、y的长度．

【分析】（1）根据相似多边形的性质求出∠A′、∠B′，以及相似比，根据四边形的内角和定理求出∠C′；

（2）根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．

【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，

∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，

它们的相似比为：，

故答案为：83°；；

（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴，

解得，x＝12，y．

23．（2018秋•太原期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．

【分析】利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE＝2，然后计算AE+DE即可．

【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，

∴，

∵四边形ABCD为矩形，

∴CD＝AB＝4

∴，

∴DE＝8，AE＝2，

∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．

24．（2017秋•泰兴市校级月考）如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，

（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？

（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．

【分析】（1）根据相似多边形的判定解答即可；

（2）利用相似多边形的判定和性质解答即可．

【解析】（1）不相似，理由如下：

∵，

∴不相似；

（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，

就要，即，

可得：2d+2b＝a+c．