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沪科版九年级上册22.1 比例线段优秀教学设计
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这是一份沪科版九年级上册22.1 比例线段优秀教学设计，共11页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等内容，欢迎下载使用。
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识．
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题．
教学过程
一、新课教授
活动1：观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体展示)
师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察的图片特点进行归纳吗？
教师出示图片，提出问题．
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题．
教师对学生的回答进行评价，总结：这些图形的形状不同，它们的大小不同．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
观察如图(1)、(2)，比较它们的边与角的大小关系．
如图的两个正方形，应有
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
eq \f(AB,A1B1)＝eq \f(BC,B1C1)＝eq \f(CD,C1D1)＝eq \f(DA,D1A1)＝eq \f(1.6,3.2)＝eq \f(1,2).
如图(2)的两个等边三角形，应有
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
eq \f(AB,A1B1)＝eq \f(BC,B1C1)＝eq \f(CA,C1A1)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
(1)
(2)
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数．
师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比；
(3)当相似比为1时，两个多边形全等．
二、课堂小结
本节课主要学习了以下内容：
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
第2课时 成比例线段(1)
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
重点难点
【重点】
认识成比例的线段．
【难点】
理解成比例线段的概念．
教学过程
一、复习回顾，引入新课
师：同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗？
生：学习了相似多边形．
师：是的，你能说说什么是相似多边形吗？
生：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．
师：很好！由于多边形的边是线段，所以在研究图形相似之前，这节课我们先要学习成比例线段的有关知识．
二、讲授新课
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成eq \f(AB,CD)＝eq \f(m,n).其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把eq \f(m,n)表示成比值k，那么eq \f(AB,CD)＝k，或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．
活动：如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
师生活动．
教师出示图片，提出问题．
学生考虑如何求得这两条线段的比．
学生求出的值不唯一，只要方法恰当，教师都要给予肯定．
1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．这时，线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；
(2)线段的比是一个没有单位的正数；
(3)四条线段a、b、c、d成比例，记作eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)或a∶b＝c∶d；
(4)若四条线段满足eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则有ad＝bc；
(5)如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么eq \f(a,b)＝eq \f(c,d).
三、课堂小结
本节课主要学习了：
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．这时，线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项．
第3课时 成比例线段(2)
教学目标
【知识与技能】
1．进一步理解并掌握比例、比例线段的概念．
2．会辨认比例式中的“项”．
3．会求常见图形中的线段比．
4．会进行黄金分割的有关计算．
【过程与方法】
1．经历探究比例、比例线段的性质的过程，体会类比的思想，促进探究、质疑、归纳能力的发展．
2．经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程．
3．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的情感．
【情感、态度与价值观】
在交流协作中，体会生生交往与师生交往的乐趣；在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难，增强学习数学的兴趣．
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质；黄金分割点的有关计算．
【难点】
比例及比例线段的应用；黄金分割点的有关计算．
教学过程
一、复习回顾，引入新课
师：在上一节，我们学习了成比例线段，同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗？
学生作图后测量并求出比值．
师：用同一个单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作eq \f(a,b)或a∶b.在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比，等于另外两条线段c、d的比，即eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
二、探究新知
师：两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比，因此也应具有关于两个数成比例的性质．如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，你能把这个式子改写成乘积的形式吗？
生：两边同乘以bd，得到ad＝bc.
师：反之，如果ad＝bc(b、d≠0)我们是否能得到eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)呢？
生：能，两边同除以bd.
师：比例的这个性质叫做比例的基本性质．
教师多媒体课件出示：
师：现在请同学们看这三个图形．图形(1)和图形(2)对应边是成比例的，图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长，图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽，你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗？
学生思考，讨论．
师：你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢？
生：计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等．
师：现在就请同学们算一下是否相等．
学生计算后回答：相等．
师：所以我们有eq \f(2＋1.6,2)＝eq \f(1.5＋1.2,1.5).对于式子eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，能否得到eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)呢？
学生思考，讨论．
生：在eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)的两边都加上1，然后通分就得到了eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d).
师：对！所以我们得到了这个结论：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)(b、d≠0)．这叫做比例的合比性质．如果eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)，b1＋b2≠0，你能否证明eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)呢？
教师提示：我们可以倒着推：
要证eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)，可先证(a1＋a2)×b1＝(b1＋b2)×a1，即a1b1＋a2b1＝b1a1＋b2a1，两边都减去a1b1，得a2b1＝b2a1，你能证明a2b1＝b2a1吗？
学生思考后回答：能．
师：怎么证明？
生：因为eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)，两边同乘以b1b2，就证出来了．
师：现在你知道怎么证明eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)了吗？
生：知道了．
师：请同学们想想有没有其他的证法？
学生思考．
教师提示：eq \f(a1,b1)的值与eq \f(a2,b2)的值相等，我们要证的是eq \f(a1＋a2,b1＋b2)的值也与eq \f(a1,b1)的值相等，如果我现在设eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝k，你能否证出eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝k呢？
学生思考，讨论．
师：a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示？
生：能．
师：怎样表示？
生：a1＝b1k，a2＝b2k.
师：你知道怎样证明了吗？
生：知道，将a1＝b1k，a2＝b2k代入eq \f(a1＋a2,b1＋b2)中．
师：我们有了两种证法，哪两位同学愿意上来写出证明过程？
学生举手，教师从举手的同学中找两生板演．
生1板书：
证明：∵eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)(已知)，
两边同乘以eq \f(b2,a1)得
eq \f(b2,b1)＝eq \f(a2,a1).
∴eq \f(b2＋b1,b1)＝eq \f(a2＋a1,a1)(合比性质)．
两边同乘以eq \f(b1,a2＋a1)得
eq \f(b2＋b1,a2＋a1)＝eq \f(b1,a1).
两边取倒数，得eq \f(a2＋a1,b2＋b1)＝eq \f(a1,b1)，
即eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1).
生2板书：设eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝k，得
a1＝b1k，a2＝b2k，代入eq \f(a1＋a2,b1＋b2)得
eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(b1k＋b2k,b1＋b2)＝eq \f(（b1＋b2）k,b1＋b2)＝k＝eq \f(a1,b1).
师：你能总结一下以上两种方法吗？
生：第一种方法是先倒推，再证明；第二种方法是设定值．
师：同学们总结得很好！再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法，其中设定值的方法一般适用于设比值为定值．如果我把这个式子推广，eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)＝…＝eq \f(an,bn)成立，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比等于eq \f(a1,b1)呢？
生：能．
教师找一生板演，其余同学在下面做，教师巡视指导．
师：所以我们得到比例的又一性质：如果eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)…＝eq \f(an,bn)，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，那么eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝eq \f(a1,b1).
三、例题讲解
【例1】 已知：如图，在△ABC中，eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC).
师：请同学们看这道题．
学生读题思考．
师：哪位同学能证明这道题，跟大家说说你的思路．
学生举手．
教师找一生回答第(1)题．
生：因为eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，由合比性质得eq \f(AD＋DB,DB)＝eq \f(AE＋EC,EC)，即eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC).
教师找另一生回答第(2)题．
师：你是怎样考虑的呢？
生：AB可以写成AD＋DB，AC可以写成AE＋EC.因为合比性质是分子加分母，要证明eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，可先证eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，然后两边取倒数，就得到要证的结果了．
师：很好！现在请你把证明步骤写在黑板上，其余同学在下面做．
学生证明后集体订正．
教师多媒体课件出示：
【例2】 如图所示，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP＝AP∶PB.求线段AP的长和eq \f(AP,AB)的值．
解：设AP＝x，那么PB＝a－x.根据题意，得a∶x＝x∶(a－x)，
即x2＋ax－a2＝0.
解方程，得x＝eq \f(－1±\r(5),2)a.
因为线段长度不能是负值，所以取x＝eq \f(－1＋\r(5),2)a.
即AP＝eq \f(－1＋\r(5),2)a.
于是eq \f(AP,AB)＝eq \f(－1＋\r(5),2)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618.
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值eq \f(\r(5)－1,2)叫做黄金数．
四、课堂小结
师：本节课你学习了什么内容？有什么收获？
学生回答，教师点评．
第4课时 平行线分线段成比例
教学目标
【知识与技能】
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
2．使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理．
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
【情感、态度与价值观】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美，提高学习数学的兴趣．
重点难点
【重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
【难点】
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
教学过程
一、复习引入
教师多媒体课件出示：
1．求下列各式中x∶y的值．
(1)3x＝7y； (2)y＝eq \f(6,5)x； (3)y∶x＝4∶7.
2．已知x∶2＝y∶3＝z∶6，求(x＋y－z)∶(4x＋6y＋z)．
教师找两位学生分别板演1、2题，其余同学在下面做，教师巡视，然后集体订正．
二、共同探究，获取新知
师：平行于三角形一边的直线，在另外两边上截得的线段是怎样的呢？
生：……
教师多媒体课件出示：
已知：如图，过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC，交AC于点E，求证：eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC).
师：你能证明这个问题吗？
学生思考、讨论．
教师边操作边讲解：我们可以作辅助线，连接BE、CD，再过点E作AB上的垂线段h.
师：现在你能猜出eq \f(AD,DB)可以转化为哪两个三角形的面积之比吗？
学生思考后回答：能，可以转化为△ADE和△BDE的面积之比．
师：你是怎样得到的呢？
生：△ADE的面积等于AD与h乘积的一半，△BDE的面积等于BD与h乘积的一半，所以eq \f(AD,DB)＝eq \f(\f(1,2)AD·h,\f(1,2)DB·h)＝eq \f(S△ADE,S△DBE).
师：你回答得太好了！我们要证的是eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比．再证出什么就能得到结论了？
学生思考后回答：再证出eq \f(S△ADE,S△DBE)＝eq \f(AE,EC).
师：对，你们太聪明了！你怎么证明这个相等关系呢？
生：过点D向AC边作垂线，与前面同理可证出这个相等关系．
师：很好！这样我们就证出eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,AC).
由这个比例式，你能推出哪些线段也是成比例的？还有哪些比例式也是成立的呢？
学生思考，教师提示．
生甲：eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
生乙：eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC).
师：对！上面的图形，也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的．于是我们能得到一个定理．
教师提示大家读出书上的推论，并板书：
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
师：这个定理可推广成一般的形式．
教师多媒体课件出示：
已知：如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F，求证：eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
师：直线AC、DF被这三条直线所截，不止一种结果．因为不同情况下的证明方法不同，所以我们要对截得的结果分类，被截的情形有哪几种呢？
学生思考、讨论．
生甲：AC与DF平行．
生乙：AC与DF不平行，但它们在l1与l2间不相交．
生丙：AC与DF相交在l1或l3上．
生丁：AC与DF相交在两条平行线间．
师：下面我们分别就这几种情况进行讨论．先看平行时，怎么证明这个结论呢？
生：根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB＝DE，BC＝EF，所以AB∶BC＝DE∶EF.
师：很好！如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时，又该如何证明呢？
学生思考，讨论后教师找一生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．
证明：过点A作DF的平行线，分别交l2、l3于点E′、F′.
这时有eq \f(AB,BC)＝eq \f(AE′,E′F′)，而四边形AE′ED和四边形E′F′FE都是平行四边形，所以AE′＝DE，E′F′＝EF，因而可得eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
其余两种情况类似可证．
师：于是我们得到如下定理：
(教师板书)
平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
三、继续探究，层层推进
师：在这个定理中，当eq \f(AB,BC)＝1时，有eq \f(DE,EF)＝1，即当AB＝BC时，有DE＝EF，由此你能得到什么结论？
学生口述，教师板书：
平行线等分线段定理 两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．
四、例题讲解
【例】 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AF,FC)，
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝eq \f(AE·FC,EB)＝eq \f(7×4,5)＝eq \f(28,5).
(2)∵EF∥BC，
∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC).
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝eq \f(AB·AF,AE)＝eq \f(10×5,6)＝eq \f(25,3)，
∴FC＝AC－AF＝eq \f(25,3)－5＝eq \f(10,3).
五、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
第1课时 相似多边形
教学目标
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．
【情感、态度与价值观】
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识．
重点难点
【重点】
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
【难点】
能运用相似图形的性质解决问题．
教学过程
一、新课教授
活动1：观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体展示)
师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察的图片特点进行归纳吗？
教师出示图片，提出问题．
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题．
教师对学生的回答进行评价，总结：这些图形的形状不同，它们的大小不同．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
观察如图(1)、(2)，比较它们的边与角的大小关系．
如图的两个正方形，应有
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；
eq \f(AB,A1B1)＝eq \f(BC,B1C1)＝eq \f(CD,C1D1)＝eq \f(DA,D1A1)＝eq \f(1.6,3.2)＝eq \f(1,2).
如图(2)的两个等边三角形，应有
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；
eq \f(AB,A1B1)＝eq \f(BC,B1C1)＝eq \f(CA,C1A1)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
(1)
(2)
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数．
师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比；
(3)当相似比为1时，两个多边形全等．
二、课堂小结
本节课主要学习了以下内容：
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
第2课时 成比例线段(1)
教学目标
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．
【情感、态度与价值观】
在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
重点难点
【重点】
认识成比例的线段．
【难点】
理解成比例线段的概念．
教学过程
一、复习回顾，引入新课
师：同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗？
生：学习了相似多边形．
师：是的，你能说说什么是相似多边形吗？
生：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．
师：很好！由于多边形的边是线段，所以在研究图形相似之前，这节课我们先要学习成比例线段的有关知识．
二、讲授新课
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成eq \f(AB,CD)＝eq \f(m,n).其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把eq \f(m,n)表示成比值k，那么eq \f(AB,CD)＝k，或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．
活动：如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
师生活动．
教师出示图片，提出问题．
学生考虑如何求得这两条线段的比．
学生求出的值不唯一，只要方法恰当，教师都要给予肯定．
1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．这时，线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；
(2)线段的比是一个没有单位的正数；
(3)四条线段a、b、c、d成比例，记作eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)或a∶b＝c∶d；
(4)若四条线段满足eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则有ad＝bc；
(5)如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么eq \f(a,b)＝eq \f(c,d).
三、课堂小结
本节课主要学习了：
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．这时，线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项．
第3课时 成比例线段(2)
教学目标
【知识与技能】
1．进一步理解并掌握比例、比例线段的概念．
2．会辨认比例式中的“项”．
3．会求常见图形中的线段比．
4．会进行黄金分割的有关计算．
【过程与方法】
1．经历探究比例、比例线段的性质的过程，体会类比的思想，促进探究、质疑、归纳能力的发展．
2．经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程．
3．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的情感．
【情感、态度与价值观】
在交流协作中，体会生生交往与师生交往的乐趣；在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难，增强学习数学的兴趣．
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质；黄金分割点的有关计算．
【难点】
比例及比例线段的应用；黄金分割点的有关计算．
教学过程
一、复习回顾，引入新课
师：在上一节，我们学习了成比例线段，同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗？
学生作图后测量并求出比值．
师：用同一个单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作eq \f(a,b)或a∶b.在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比，等于另外两条线段c、d的比，即eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
二、探究新知
师：两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比，因此也应具有关于两个数成比例的性质．如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，你能把这个式子改写成乘积的形式吗？
生：两边同乘以bd，得到ad＝bc.
师：反之，如果ad＝bc(b、d≠0)我们是否能得到eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)呢？
生：能，两边同除以bd.
师：比例的这个性质叫做比例的基本性质．
教师多媒体课件出示：
师：现在请同学们看这三个图形．图形(1)和图形(2)对应边是成比例的，图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长，图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽，你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗？
学生思考，讨论．
师：你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢？
生：计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等．
师：现在就请同学们算一下是否相等．
学生计算后回答：相等．
师：所以我们有eq \f(2＋1.6,2)＝eq \f(1.5＋1.2,1.5).对于式子eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，能否得到eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)呢？
学生思考，讨论．
生：在eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)的两边都加上1，然后通分就得到了eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d).
师：对！所以我们得到了这个结论：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)(b、d≠0)．这叫做比例的合比性质．如果eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)，b1＋b2≠0，你能否证明eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)呢？
教师提示：我们可以倒着推：
要证eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)，可先证(a1＋a2)×b1＝(b1＋b2)×a1，即a1b1＋a2b1＝b1a1＋b2a1，两边都减去a1b1，得a2b1＝b2a1，你能证明a2b1＝b2a1吗？
学生思考后回答：能．
师：怎么证明？
生：因为eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)，两边同乘以b1b2，就证出来了．
师：现在你知道怎么证明eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1)了吗？
生：知道了．
师：请同学们想想有没有其他的证法？
学生思考．
教师提示：eq \f(a1,b1)的值与eq \f(a2,b2)的值相等，我们要证的是eq \f(a1＋a2,b1＋b2)的值也与eq \f(a1,b1)的值相等，如果我现在设eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝k，你能否证出eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝k呢？
学生思考，讨论．
师：a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示？
生：能．
师：怎样表示？
生：a1＝b1k，a2＝b2k.
师：你知道怎样证明了吗？
生：知道，将a1＝b1k，a2＝b2k代入eq \f(a1＋a2,b1＋b2)中．
师：我们有了两种证法，哪两位同学愿意上来写出证明过程？
学生举手，教师从举手的同学中找两生板演．
生1板书：
证明：∵eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)(已知)，
两边同乘以eq \f(b2,a1)得
eq \f(b2,b1)＝eq \f(a2,a1).
∴eq \f(b2＋b1,b1)＝eq \f(a2＋a1,a1)(合比性质)．
两边同乘以eq \f(b1,a2＋a1)得
eq \f(b2＋b1,a2＋a1)＝eq \f(b1,a1).
两边取倒数，得eq \f(a2＋a1,b2＋b1)＝eq \f(a1,b1)，
即eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(a1,b1).
生2板书：设eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝k，得
a1＝b1k，a2＝b2k，代入eq \f(a1＋a2,b1＋b2)得
eq \f(a1＋a2,b1＋b2)＝eq \f(b1k＋b2k,b1＋b2)＝eq \f(（b1＋b2）k,b1＋b2)＝k＝eq \f(a1,b1).
师：你能总结一下以上两种方法吗？
生：第一种方法是先倒推，再证明；第二种方法是设定值．
师：同学们总结得很好！再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法，其中设定值的方法一般适用于设比值为定值．如果我把这个式子推广，eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)＝…＝eq \f(an,bn)成立，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比等于eq \f(a1,b1)呢？
生：能．
教师找一生板演，其余同学在下面做，教师巡视指导．
师：所以我们得到比例的又一性质：如果eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)…＝eq \f(an,bn)，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，那么eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝eq \f(a1,b1).
三、例题讲解
【例1】 已知：如图，在△ABC中，eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC).
师：请同学们看这道题．
学生读题思考．
师：哪位同学能证明这道题，跟大家说说你的思路．
学生举手．
教师找一生回答第(1)题．
生：因为eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，由合比性质得eq \f(AD＋DB,DB)＝eq \f(AE＋EC,EC)，即eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC).
教师找另一生回答第(2)题．
师：你是怎样考虑的呢？
生：AB可以写成AD＋DB，AC可以写成AE＋EC.因为合比性质是分子加分母，要证明eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，可先证eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，然后两边取倒数，就得到要证的结果了．
师：很好！现在请你把证明步骤写在黑板上，其余同学在下面做．
学生证明后集体订正．
教师多媒体课件出示：
【例2】 如图所示，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP＝AP∶PB.求线段AP的长和eq \f(AP,AB)的值．
解：设AP＝x，那么PB＝a－x.根据题意，得a∶x＝x∶(a－x)，
即x2＋ax－a2＝0.
解方程，得x＝eq \f(－1±\r(5),2)a.
因为线段长度不能是负值，所以取x＝eq \f(－1＋\r(5),2)a.
即AP＝eq \f(－1＋\r(5),2)a.
于是eq \f(AP,AB)＝eq \f(－1＋\r(5),2)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618.
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值eq \f(\r(5)－1,2)叫做黄金数．
四、课堂小结
师：本节课你学习了什么内容？有什么收获？
学生回答，教师点评．
第4课时 平行线分线段成比例
教学目标
【知识与技能】
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
2．使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理．
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
【情感、态度与价值观】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美，提高学习数学的兴趣．
重点难点
【重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
【难点】
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
教学过程
一、复习引入
教师多媒体课件出示：
1．求下列各式中x∶y的值．
(1)3x＝7y； (2)y＝eq \f(6,5)x； (3)y∶x＝4∶7.
2．已知x∶2＝y∶3＝z∶6，求(x＋y－z)∶(4x＋6y＋z)．
教师找两位学生分别板演1、2题，其余同学在下面做，教师巡视，然后集体订正．
二、共同探究，获取新知
师：平行于三角形一边的直线，在另外两边上截得的线段是怎样的呢？
生：……
教师多媒体课件出示：
已知：如图，过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC，交AC于点E，求证：eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC).
师：你能证明这个问题吗？
学生思考、讨论．
教师边操作边讲解：我们可以作辅助线，连接BE、CD，再过点E作AB上的垂线段h.
师：现在你能猜出eq \f(AD,DB)可以转化为哪两个三角形的面积之比吗？
学生思考后回答：能，可以转化为△ADE和△BDE的面积之比．
师：你是怎样得到的呢？
生：△ADE的面积等于AD与h乘积的一半，△BDE的面积等于BD与h乘积的一半，所以eq \f(AD,DB)＝eq \f(\f(1,2)AD·h,\f(1,2)DB·h)＝eq \f(S△ADE,S△DBE).
师：你回答得太好了！我们要证的是eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比．再证出什么就能得到结论了？
学生思考后回答：再证出eq \f(S△ADE,S△DBE)＝eq \f(AE,EC).
师：对，你们太聪明了！你怎么证明这个相等关系呢？
生：过点D向AC边作垂线，与前面同理可证出这个相等关系．
师：很好！这样我们就证出eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,AC).
由这个比例式，你能推出哪些线段也是成比例的？还有哪些比例式也是成立的呢？
学生思考，教师提示．
生甲：eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
生乙：eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC).
师：对！上面的图形，也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的．于是我们能得到一个定理．
教师提示大家读出书上的推论，并板书：
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
师：这个定理可推广成一般的形式．
教师多媒体课件出示：
已知：如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F，求证：eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
师：直线AC、DF被这三条直线所截，不止一种结果．因为不同情况下的证明方法不同，所以我们要对截得的结果分类，被截的情形有哪几种呢？
学生思考、讨论．
生甲：AC与DF平行．
生乙：AC与DF不平行，但它们在l1与l2间不相交．
生丙：AC与DF相交在l1或l3上．
生丁：AC与DF相交在两条平行线间．
师：下面我们分别就这几种情况进行讨论．先看平行时，怎么证明这个结论呢？
生：根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB＝DE，BC＝EF，所以AB∶BC＝DE∶EF.
师：很好！如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时，又该如何证明呢？
学生思考，讨论后教师找一生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．
证明：过点A作DF的平行线，分别交l2、l3于点E′、F′.
这时有eq \f(AB,BC)＝eq \f(AE′,E′F′)，而四边形AE′ED和四边形E′F′FE都是平行四边形，所以AE′＝DE，E′F′＝EF，因而可得eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
其余两种情况类似可证．
师：于是我们得到如下定理：
(教师板书)
平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
三、继续探究，层层推进
师：在这个定理中，当eq \f(AB,BC)＝1时，有eq \f(DE,EF)＝1，即当AB＝BC时，有DE＝EF，由此你能得到什么结论？
学生口述，教师板书：
平行线等分线段定理 两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．
四、例题讲解
【例】 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AF,FC)，
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝eq \f(AE·FC,EB)＝eq \f(7×4,5)＝eq \f(28,5).
(2)∵EF∥BC，
∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC).
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝eq \f(AB·AF,AE)＝eq \f(10×5,6)＝eq \f(25,3)，
∴FC＝AC－AF＝eq \f(25,3)－5＝eq \f(10,3).
五、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
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