高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角教案配套课件ppt

7.3.5　已知三角函数值求角

知识点　arcsin x，arccos x，arctan x的含义

1．已知正弦值求角

对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.

2．已知余弦值求角

对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1，0≤x≤π).

3．已知正切值求角

一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y.

符号arcsin a(a∈[－1，1])，arccos a(a∈[－1，1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？

[提示]　arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角；arccos a表示在区间上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间上，正切值为a的角．

1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)arcsin ＝arccos .  (　　)

(2)arccos ＝arcsin .  (　　)

(3)arctan (－1)＝arcsin (－1).  (　　)

[提示]　(1)×.因为arcsin ＝－，arccos ＝.

(2)×.因为arccos ＝，arcsin ＝.

(3)×.因为arctan (－1)＝－，arcsin (－1)＝－.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.下列说法中错误的是(　　)

A．arcsin ＝－ B．arcsin 0＝0

C．arcsin (－1)＝π D．arcsin 1＝

C　[根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－，故C项错误．]

3.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　)

A． B．　　

C．或 D．或

D　[因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D.]

4.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________．

或　[因为x∈[0，π]，所以2x∈[0，2π].

因为tan 2x＝－，所以2x＝或2x＝，

所以x＝或.]

类型1　已知正弦值求角

【例1】　已知sin x＝－，求x.

[思路探究]　利用三角函数线或正弦函数的图像解题．

[解]　法一：由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦

线方向朝下，而且长度为，

如图所示，

可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.

又因为sin ＝sin ＝－，

所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.

法二：因为sin x＝－，

如图所示，

由正弦函数的图像，知

在[0，2π]内，sin ＝sin ＝－，

所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.

1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．

2.对于已知正弦值求角有如下规律：

1．已知sin α＝，根据所给范围求角α.

(1)α为锐角；(2)α∈R.

[解]　(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，

所以α＝arcsin .

(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)，

α2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)，

即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z).

类型2　已知余弦值求角、解不等式

【例2】　(1)(对接教材P58例1)已知cos ＝，求x.

(2)求不等式cos >－的解集．

[思路探究]　(1)利用余弦线、图像求值．

(2)先求出相等时的x，再写出满足不等式的x的范围．

[解]　(1)由cos ＝>0，

知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，

如图所示，

可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.

又因为cos ＝cos ＝，

所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.

所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.

(2)如图所示，

在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时，

cos ＝－，所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos ＝－.

令－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z，

解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z，

所以不等式的解集为

.

利用余弦值求角、解不等式,将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．

2．已知cos x＝－.

(1)当x∈[0，π]时，求值x；

(2)当x∈R时，求x的取值集合．

[解]　(1)因为cos x＝－且x∈[0，π]，

所以x＝arccos .

(2)当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解．

因为cos x＝－，

故x是第二或第三象限角．

由(1)知x＝arccos 是第二象限角，

又cos

＝cos ＝－，

且2π－arccos ∈，

所以由余弦函数的周期性知，

当x＝arccos ＋2kπ或

x＝2π－arccos ＋2kπ(k∈Z)时，

cos x＝－，

即所求x值的集合是

.

类型3　已知正切值求角

【例3】　已知tan α＝－3.

(1)若α∈，求角α；

(2)若α∈R，求角α.

[思路探究]　尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解．

[解]　(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan (－3).

(2)α＝kπ＋arctan (－3)(k∈Z).

1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．

2.tan α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k∈Z}．

3．已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.

[解]　因为tan x＝－1＜0，

所以x是第二或第四象限角．

由tan ＝－tan ＝－1可知，

所求符合条件的第四象限角为x＝－.

又由tan ＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，

所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.

类型4　三角方程的求解

【例4】　若cos x＝cos ，求x的值．

1．已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？

[提示]　不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．

2．怎样求解三角方程？

[提示]　明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．

[解]　在同一个周期[－π，π]内，

满足cos x＝cos 的角有两个：和－.

又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z).

已知三角函数值求角的步骤

(1)由三角函数值的符号确定角的象限；

(2)求出[0，2π)上的角；

(3)根据终边相同的角写出所有的角．

4．已知sin x＝，且x∈[0，2π]，则x的取值集合为________．

　[因为x∈[0，2π]，且sin x＝＞0，

所以x∈(0，π)，当x∈时，

y＝sin x递增且sin ＝，

所以x＝，又sin ＝sin ＝，

所以x＝也符合题意．

所以x的取值集合为.]

1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　)

A．　 B．

C． D．

B　[因为x∈(π，2π)且cos x＝－，所以x＝.]

2.的值等于(　　)

A． B．0

C．1 D．－

C　[因为arcsin ＝，arccos ＝，

arctan (－)＝－，所以原式＝＝1.]

3．函数y＝＋π－arccos (2x－3)的定义域是________．

　[由题意可得，

解得1≤x≤，所以函数的定义域为.]

4．满足等式sin (2x＋45°)＝cos (30°－x)的最小正角x是________．

15°　[sin (2x＋45°)＝sin (60°＋x)，要使x>0，且最小，则2x＋45°＝60°＋x，所以x＝15°.]

5．已知α∈，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________．

　[因为1＋tan α≥0，所以tan α≥－1，

解得－＋kπ≤α<＋kπ，k∈Z；又α∈，所以≤α<π，即α的取值范围是.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围？

[提示]

2.已知三角函数值求角的步骤？

[提示]　一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0，2π]的角；四、给答案．注意：若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．