2020-2021学年第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.5 已知三角函数值求角学案设计

7．3.5　已知三角函数值求角

[课程目标] 1.会由已知三角函数值求角．

2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．

3．已知三角函数值，会使用计算器求角．

[填一填]

1．已知正弦值，求角

对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsiny.

2．已知余弦值，求角

对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccosy(－1≤y≤1,0≤x≤π)．

3．已知正切值，求角

如果正切函数y＝tanx(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y，记作x＝arctany.

[答一答]

1．如何理解反正弦函数？

提示：(1)已知三角函数值求角，实际上是求三角函数的反函数问题，根据反函数的概念，当函数由定义域到值域一一对应时，才存在反函数，也就是说，在函数的一个单调区间上，该函数才有反函数，因此arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于y的角，原因是是函数y＝sinx的一个单调区间，对于每一个可能的值y(|y|≤1)，在这个区间上都有唯一的x值和它对应；反之，对于上每一个x的值，在区间[－1,1]上都有唯一的y值和它对应，因此，函数y＝sinx在上存在反函数，并且把这个反函数记为x＝arcsiny，因此它的定义域为[－1,1]，值域为.

(2)要熟练地记住下列特殊的y值对应的角，arcsin＝±；arcsin＝±；arcsin＝±等．对于非特殊值，要会用反三角符号表示角，如sinx＝时，x＝arcsin，

若sinx＝－时，x＝arcsin＝－arcsin.即y＝arcsinx表示内的一个角．

2．怎样由三角函数值求角？

提示：已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当三角函数值不是1或0时，可以分为以下几步来解决：

第一步，确定角x可能是第几象限角．确定的方法有两种：一是借助单位圆运用三角函数线来判断，根据已知的三角函数值，画出相应的三角函数线．二是借助三角函数的图像来思考．

第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.

第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出(0,2π)内对应的角．如果是第二象限角，那么可表示为－x1＋π，如果是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π.

第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．

具体见下表：

类型一　　　　　　已知正弦值求角

 [例1]　已知sinx＝.

(1)当x∈时，求x的取值集合；

(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；

(3)当x∈R时，求x的取值集合．

[分析]　尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．

[解]　(1)∵y＝sinx在上是增函数，

且sin＝.∴x＝，∴是所求集合．

(2)∵sinx＝>0，∴x为第一或第二象限的角．

且sin＝sin＝.

∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.

∴x的取值集合为.

(3)当x∈R时，x的取值集合为

.

给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.

[变式训练1]　已知sinα＝－，在下列条件下求α：

(1)α∈；

(2)α∈R.

解：(1)∵α＝arcsin，∴α＝－.

(2)∵sinα＝－，α∈R，

∴α＝2kπ＋π＋arcsin＝2kπ＋，

或α＝2kπ＋2π－arcsin＝2kπ＋＝2kπ－(k∈Z)．

即α＝2kπ＋或α＝2kπ－(k∈Z)．

类型二　　　　　　已知余弦值求角

 [例2]　已知cosx＝－0.287.

(1)当x∈[0，π]时，求x；

(2)当x∈R时，求x的取值集合．

[分析]　解答本题可先求出定义arccosα的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．

[解]　(1)∵cosx＝－0.287，且x∈[0，π]，

∴x＝arccos(－0.287)．

(2)当x∈R时，先求出x∈[0,2π]上的解．

∵cosx＝－0.287，故x是第二或第三象限角，

由(1)知x1＝arccos(－0.287)是第二象限角．

∵cos(2π－arccos(－0.287))

＝cos(arccos(－0.287))

＝－0.287，且2π－arccos(－0.287)∈，

∴x2＝2π－arccos(－0.287)．

由余弦函数的周期性知，

当x＝2kπ＋x1或x＝2kπ＋x2，k∈Z时，

cosx＝－0.287.

即所求x值的集合是：{x|x＝2kπ±arccos(－0.287)，k∈Z}．

cosx＝a－1≤a≤1，当x∈[0，π]时，则x＝arccosa，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}.

[变式训练2]　已知cosα＝－，α∈，求α.

解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosα＝－可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos，即arccos∈[0，π]．

又∵cosα＝－<0，∴arccos∈.

∴0<π－arcccos<.

∴π<π＋π－arccos<，

即π<2π－arccos<.

∴α＝2π－arccos.

类型三　　　　　　已知正切值求角

 [例3]　(1)已知tanx＝且x∈，求x；

(2)已知tanx＝且x∈[0,2π]，求x的取值集合；

(3)已知tanx＝且x∈R，求x的取值集合．

[分析]　根据正切值，遵循相关步骤求角．

[解]　(1)在区间上y＝tanx是增函数，符合条件的角是唯一的．

∴x＝arctan.

(2)∵tan(π＋α)＝tanα，

∴x＝π＋arctan或x＝arctan.

∴所求x的集合是.

(3)由(2)可知：x＝kπ＋arctan或x＝kπ＋π＋arctan(k∈Z)，∴所求x的取值集合为{x|x＝kπ＋arctan(k∈Z)}．

已知三角函数的正切值求角，要结合角所属的范围和正切函数在此区间上的单调性来确定.

[变式训练3]　已知tanα＝－2，(1)α∈；

(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R，求角α.

解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tanα＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2)．

(2)∵tanα＝－2<0，所以α是第二或第四象限角．

又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tanα＝－2的角有两个．

∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tanα＝－2且arctan(－2)∈.

∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．

(3)α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．

类型四　　　　　　综合应用

 [例4]　已知A，B为△ABC的两个内角，且满足sinA＝cosB，tanA＝.求△ABC三个内角的度数．

[分析]　先将后一个条件切化弦，再考虑三角消元．

[解]　∵tanA＝，∴＝.

将sinA＝cosB代入，有＝.

若cosB＝0，则sinA＝0，而A，B∈(0，π)此时无解．

∴cosB≠0，∴cosA＝sinB.

由sinA＝cosB及cosA＝sinB，平方后相加得

2cos2B＋sin2B＝1，

即sin2B＝，∴sinB＝±.

∵0<B<π，∴sinB＝，∴B＝或.

当B＝时，sinA＝cos＝，∴A＝或(舍)．

当B＝时，sinA＝cos＝－与0<A<π矛盾．

故A＝，B＝，C＝.

1本题运用了三角消元方法，它是处理多角度问题的一种常见方法.

2在求出角B后进行了讨论，舍去其中这种情况.另外在求得角A后又进行讨论，它们都是围绕三角形内角和展开的.有时仅这一点还不够，还必须借助其他条件进行取舍.)

[变式训练4]　计算下列各题：

(1)sin(arcsinx)(－1≤x≤1)；

(2)cos(arccosx)(－1≤x≤1)；

(3)sin(arccosx)(－1≤x≤1)；

(4)sin(arctanx)(x∈R)．

解：(1)∵－1≤x≤1，∴arcsinx∈，

设α＝arcsinx，∴x＝sinα，∴sin(arcsinx)＝sinα＝x.

(2)∵－1≤x≤1，∴arccosx∈[0，π]，设α＝arccosx，

∴x＝cosα，∴cos(arccosx)＝cosα＝x.

(3)∵－1≤x≤1，∴arccosx∈[0，π]，设α＝arccosx，

∴x＝cosα，

∴sin(arccosx)＝sinα＝＝.

(4)∵x∈R，∴arctanx∈，设α＝arctanx，

∴x＝tanα，∴sin(arctanx)＝sinα，

即已知tanα＝x，且α∈时，求sinα的值．

∵x＝tanα＝，∴x2＝＝，

∴sinα＝(sinα的正负由x确定)．

1．若sinx＝，x∈，则角x等于(　B　)

A．arcsin   B．π－arcsin

C.＋arcsin   D．－arcsin

解析：∵sinx＝，x为第二象限角，∴x＝π－arcsin.

2．若<x<π且cosx＝－，则x等于(　C　)

A．arccos   B．－arccos

C．π－arccos   D．π＋arccos

解析：∵x∈，∴x＝arccos＝π－arccos.

3．方程tanx＝－(－π<x<π)的解集是(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：∵tan＝－tan＝－，tan＝－tan＝－，又－，π－在(－π，π)内，故选C.

4．tan＝－.

解析：令α＝arccos，α∈[0，π]，则cosα＝－，sinα＝，∴tanα＝－.