人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案，共9页。

大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识．
问题 已知sin x＝eq \f(\r(3),2)，你能求出满足条件的角x吗？
[提示] x＝eq \f(π,3)＋2kπ或eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z．
知识点 三角函数值求角
1．已知正弦值求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它对应．
2．已知余弦值求角
对于余弦函数y＝cs x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应．
3．已知正切值求角
一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么对每一个正切值y，在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，有且只有一个角x，使tan x＝y．
1．已知α是三角形的内角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
D [因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝eq \f(\r(3),2)时，α＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选D．]
2．已知tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________．
eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12) [因为x∈[0，π]，
所以2x∈[0,2π]．
因为tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)，
所以2x＝eq \f(5π,6)或2x＝eq \f(11π,6)，
所以x＝eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12)．]
类型1 已知正弦值求角
【例1】 已知sin x＝－eq \f(\r(3),2)，求x．
[解] 法一：由sin x＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)的解集．
[解] (1)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)>0，
知角2x－eq \f(π,3)对应的余弦线方向向右，且长度为eq \f(\r(3),2)，如图所示，
可知角2x－eq \f(π,3)的终边可能是OP，也可能是OP′．
又因为cs eq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)＋2kπ或2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z．
所以x＝eq \f(π,12)＋kπ或x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z．
[解] 如图所示，
在[－π，π]上，eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(3π,4)或eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)时，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(3π,4)＋2kπ或eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(2),2)．
令－eq \f(3π,4)＋2kπ