人教版八年级上册15.1.2 分式的基本性质综合训练题

15.1.2　分式的基本性质

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．分式的分子与分母同乘以(或除以)一个整式，分式的值不变．(×)

2．把分式的分子、分母的公因式约去的变形叫分式的约分．(×)

3．分式的分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．(√)

4．约分的根据都是分式的基本性质，约分的结果是最简分式或整式. (√)

5．把各分式化成分母相同的分式，叫做分式的通分. (×)

6．最简公分母：各分母的所有因式的积．(×)

知识点1　分式的基本性质的应用

1．(2021·泰安期中)下列等式从左到右的变形正确的是(　B　)

A．＝      B．＝

C．＝       D．＝

【解析】A.当y＝0时分式无意义，故A错误；B.分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故B正确；C.分式的分子分母乘以不是同一个不为零的整式，不符合分式的基本性质，分式的值改变，故C错误；D.分子分母都加1，不符合分式的基本性质，分式的值改变，故D错误．

2．(2021·桂林期末)若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值(　D　)

A．是原来的20倍      B．是原来的10倍

C．是原来的倍      D．不变

【解析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变．

3．填空：

(1)＝；

(2)＝.

【解析】(1)因为的分子xy2除以xy才能为y.为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母x2y需要除以xy，即＝＝.

(2)因为的分母(m－n)乘以(m－n)才能为(n－m)2.为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子2m需要乘以(m－n)，即＝＝.

4．不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数．

(1)；　(2).

【解析】(1)＝＝；

(2)＝＝.

知识点2　最简分式与分式的约分

5．(2021·唐山期末)下列分式是最简分式的是(　C　)

A．       B．

C．      D．

【解析】A选项＝；

B选项＝；

C选项不能约分，故本选项正确；

D选项＝＝.

6．(2020·河北中考)若a≠b，则下列分式化简正确的是(　D　)

A．＝       B．＝

C．＝        D．＝

【解析】∵a≠b，∴≠，故选项A错误；≠，故选项B错误；≠，故选项C错误；＝，故选项D正确．

7．(教材第132页练习T1改编)

化简：(1).　(2).

(3).　(4).

【解析】(1)＝＝x.

(2)＝＝.

(3)＝＝－.

(4)＝＝.

知识点3　最简公分母与分式的通分

8．(2021·恩施期末)分式和的最简公分母为(　C　)

A．(a2－1)(a2－a)      B．(a2－a)

C．a(a2－1)        D．a(a2－1)(a－1)

【解析】∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，a2－a＝a(a－1)，

∴分式和的最简公分母是a(a＋1)(a－1)＝a(a2－1).

9．分式，，的最简公分母是__10(x＋1)(x－1)__．

【解析】因为＝，＝，

＝，

所以这三个分式的最简公分母是10(x＋1)(x－1).

10.(教材第132页练习T2改编)

通分：

(1)，.

(2)，.

【解析】(1)最简公分母是18a2b2c.＝，＝.

(2)最简公分母是(a＋1)2(a－1).

＝，＝.

关键能力·综合练

11．(2021·荆州期末)化简的结果是(　C　)

A．      B．－

C．      D．

【解析】＝＝.

12．(易错警示题)下列各式约分中，正确的是(　B　)

A．＝b        B．＝－1

C．＝－1       D．＝a－b

【解析】A项不能约分，＝＝－1，B项正确，＝＝－，C项不正确，＝＝a＋b.D项不正确．

13．(2021·玉林质检)当x＝6，y＝－2时，代数式的值为(　D　)

A．2    B．    C．1    D．

【解析】＝＝，当x＝6，y＝－2时，原式＝.

14．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是(　D　)

A．    B．

C．    D．

【解析】分子的最高次项为－3x2，分母的最高次项为－5x3，系数均为负数，

所以＝＝.

15．(2020·湖州中考)化简：＝____．

【解析】＝＝.

16．当a＝2 021时，分式的值是__2023__．

【解析】＝＝a＋2.

把a＝2 021代入原式得，2 021＋2＝2 023.

17．请从三个代数式4x2－y2，2xy＋y2，4x2＋4xy＋y2中，任选两个构造一个分式，并化简该分式．

【解析】本题答案不唯一．如

(1)＝＝；

(2)＝＝；

(3)＝＝；

(4)＝＝；

(5)＝＝；

(6)＝＝.

18．化简求值：(1)，其中a＝4，b＝1；

(2)，其中a＝2，b＝.

【解析】(1)原式＝＝，当a＝4，b＝1时，原式＝＝1.

(2)原式＝＝，当a＝2，b＝时，原式＝＝3.

19．(素养提升题)如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)下列分式：①；②；③；

④.其中是“和谐分式”的是________(填写序号即可).

(2)若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值．

(3)在化简－÷时，

小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：原式＝－×＝－＝；

小强：原式＝－×＝－＝.

显然，小强利用了其中的“和谐分式”，第三步所得的结果比小东的结果简单，原因是：__________________________________________________________，

请你接着小强的方法完成化简．

【解析】(1)②分式＝，不可约分，∴分式是“和谐分式”．

答案：②

(2)∵分式为“和谐分式”，且a为正整数，∴a＝4或a＝5.

(3)小强利用了其中的“和谐分式”，第三步所得的结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用“和谐分式”找到了最简公分母，

原式＝

＝＝

＝.

易错点1：不能正确运用分式的基本性质而致错

【案例1】将分式的分子、分母各项的系数都化为整数．

【解析】原式＝＝.

易错点2：分式变符号出现错误

【案例2】不改变分式的值，使分式的分子、分母的第一项符号为正．

【解析】原式＝＝.

易错点3：盲目约分

【案例3】约分.

【解析】原式＝＝.

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